题目内容
【题目】如图,菱形ABCD的边长为2cm,∠DAB=60°.点P从A点出发,以 cm/s的速度,沿AC向C作匀速运动;与此同时,点Q也从A点出发,以1cm/s的速度,沿射线AB作匀速运动.当P运动到C点时,P、Q都停止运动.设点P运动的时间为ts.
(1)当P异于A、C时,请说明PQ∥BC;
(2)以P为圆心、PQ长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,t为怎样的值时,⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点?
【答案】
(1)解:∵四边形ABCD是菱形,且菱形ABCD的边长为2cm,
∴AB=BC=2,∠BAC= ∠DAB,
又∵∠DAB=60°(已知),
∴∠BAC=∠BCA=30°;
如图1,连接BD交AC于O.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA= AC,
∴OB= AB=1(30°角所对的直角边是斜边的一半),
∴OA= (cm),AC=2OA=2
(cm),
运动ts后, ,
∴
又∵∠PAQ=∠CAB,
∴△PAQ∽△CAB,
∴∠APQ=∠ACB(相似三角形的对应角相等),
∴PQ∥BC(同位角相等,两直线平行)
(2)解:如图2,⊙P与BC切于点M,连接PM,则PM⊥BC.
在Rt△CPM中,∵∠PCM=30°,∴PM= PC=
由PM=PQ=AQ=t,即 =t
解得t=4 ﹣6,此时⊙P与边BC有一个公共点;
如图3,⊙P过点B,此时PQ=PB,
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB为等边三角形,∴QB=PQ=AQ=t,∴t=1
∴ 时,⊙P与边BC有2个公共点.
如图4,⊙P过点C,此时PC=PQ,即2 -
t=t,∴t=3﹣
.
∴当1<t≤3﹣ 时,⊙P与边BC有一个公共点,
当点P运动到点C,即t=2时P与C重合,Q与B重合,也只有一个交点,此时,⊙P与边BC有一个公共点,
∴当t=4 ﹣6或1<t≤3﹣
或t=2时,⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点;
当4 ﹣6<t≤1时,⊙P与边BC有2个公共点.
【解析】(1)连接BD交AC于O,构建直角三角形AOB.利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB;然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB;最后根据平行线的判定定理“同位角相等,两直线平行”可以证得结论;(2)如图2,⊙P与BC切于点M,连接PM,构建Rt△CPM,在Rt△CPM利用特殊角的三角函数值求得PM= PC=
,然后根据PM=PQ=AQ=t列出关于t的方程,通过解方程即可求得t的值; 如图3,⊙P过点B,此时PQ=PB,根据等边三角形的判定可以推知△PQB为等边三角形,然后由等边三角形的性质以及(2)中求得t的值来确定此时t的取值范围;
如图4,⊙P过点C,此时PC=PQ,据此等量关系列出关于t的方程,通过解方程求得t的值.
