Question

【题目】解答题
（1）如图（1）点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE．求证：△BCP≌△DCE；
（2）直线EP交AD于F，连接BF，FC．点G是FC与BP的交点． ①若CD=2PC时，求证：BP⊥CF；
②若CD=nPC（n是大于1的实数）时，记△BPF的面积为S1 ， △DPE的面积为S2 ． 求证：S1=（n+1）S2 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在△BCP与△DCE中，

，

∴△BCP≌△DCE（SAS）

（2）证明：①∵CP=CE，∠PCE=90°，

∴∠CPE=45°，

∴∠FPD=∠CPE=45°，

∴∠PFD=45°，

∴FD=DP．

∵CD=2PC，

∴DP=CP，

∴FD=CP．

在△BCP与△CDF中，

，

∴△BCP≌△CDF（SAS）．

∴∠FCD=∠CBP，

∵∠CBP+∠BPC=90°，

∴∠FCD+∠BPC=90°，

∴∠PGC=90°，即BP⊥CF．

②证法一：设CP=CE=1，则BC=CD=n，DP=CD﹣CP=n﹣1．

易知△FDP为等腰直角三角形，

∴FD=DP=n﹣1．

S1=S梯形BCDF﹣S△BCP﹣S△FDP

= （BC+FD）CD﹣ BCCP﹣ FDDP

= （n+n﹣1）n﹣ n×1﹣ （n﹣1）2

= （n2﹣1）；

S2= DPCE= （n﹣1）×1= （n﹣1）．

∵n2﹣1=（n+1）（n﹣1），

∴S1=（n+1）S2．

证法二：

∵AD∥BE，

∴△FDP∽△ECP，

∴ = ，

∴S1= S△BEF．

如下图所示，连接BD．

∵BC：CE=CD：CP=n，

∴S△DCE= S△BED，

∵DP：CP=n﹣1，

∴S2= S△DCE，

∴S2= S△BED．

∵AD∥BE，∴S△BEF=S△BED，

∴S1=（n+1）S2

【解析】（1）利用SAS，证明△BCP≌△DCE；（2）在（1）的基础上，再证明△BCP≌△CDF，进而得到∠FCD+∠BPC=90°，从而证明BP⊥CF；（3）设CP=CE=1，则BC=CD=n，DP=CD﹣CP=n﹣1，分别求出S1与S2的值，得S1= （n2﹣1），S2= （n﹣1），所以S1=（n+1）S2结论成立．