Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于两点A，B，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为点D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求点E的坐标；
（3）试探究在x轴下方的抛物线上是否存在点F，使得△FOB和△EOB的面积相等，若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，请直接写出：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将点A（﹣2，0）、D（6，﹣8）代入y=ax2+bx﹣8，

得： ，

解得： ，

∴抛物线的函数表达式为y= x2﹣3x﹣8

（2）

解：设直线l的解析式为y=kx，

将D（6，﹣8）代入，得：6k=﹣8，

解得：k=﹣ ，

∴直线l的解析式为y=﹣ x，

又抛物线的对称轴为x=﹣ =3，

∴点E的坐标为（3，﹣4）

（3）

解：存在，

设点F（x， x2﹣3x﹣8），

∵S△FOB=S△EOB，即 OByF= OByE，

∴yF=yE，即 x2﹣3x﹣8=﹣4，

解得：x=3± ，

∴点F的坐标为（3﹣ ，﹣4）或（3+ ，﹣4）

（4）

解：①如图1

当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形．

∵点E坐标（3，﹣4），

∴OE= =5，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H．则 = ，

∴OM=OE=5，

∴点M坐标（0，﹣5）．

设直线ME的解析式为y=k1x﹣5，

∴3k1﹣5=﹣4，

∴k1= ，

∴直线ME解析式为y= x﹣5，

令y=0，得 x﹣5=0，解得x=15，

∴点H坐标（15，0），

∵MH∥PB，

∴ = ，即 = ，

∴m=﹣ ，

②如图2，

当QO=QP时，△POQ是等腰三角形．

∵当x=0时，y= x2﹣3x﹣8=﹣8，

∴点C坐标（0，﹣8），

∴CE= =5，

∴OE=CE，

∴∠1=∠2，

∵QO=QP，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴CE∥PB，

设直线CE交x轴于N，解析式为y=k2x﹣8，

∴3k2﹣8=﹣4，

∴k2= ，

∴直线CE解析式为y= x﹣8，

令y=0，得 x﹣8=0，

∴x=6，

∴点N坐标（6，0），

∵CN∥PB，

∴ = ，

∴ = ，

∴m=﹣ ．

③OP=PQ时，显然不可能，理由，

∵D（6，﹣8），

∴∠1＜∠BOD，

∵∠OQP=∠BOQ+∠ABP，

∴∠PQO＞∠1，

∴OP≠PQ，

综上所述，当m=﹣ 或﹣ 时，△OPQ是等腰三角形

【解析】（1）待定系数法求解可得；（2）求得直线l的解析式和抛物线对称轴即可得出交点坐标；（3）根据△FOB和△EOB共底且面积相等可得yF=yE ， 即 x2﹣3x﹣8=﹣4，解之可得答案；（4）①如图1中，当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H，求出点M、H的坐标即可解决问题．②如图2中，当QO=QP时，△POQ是等腰三角形，先证明CE∥PQ，根据平行线的性质列出方程即可解决问题．