题目内容

【题目】如图,四边形ABCD中,∠ABC、∠ADC的平分线分別交CDAB上点EF.

(1)若∠ABC=∠ADC,求征:∠ADF=∠ABE;

(2)如图,若∠A与∠C互朴,试探究∠ADF与∠ABE之同的数量夫系,并说明理由;

(3)如图,在(2)的条件下,当DAAB时,试探究BEDF的位置关系,并说明理由.

【答案】1)见解析;(2)∠ADF+ABE=90°,见解析;(3DFBE,见解析.

【解析】

1)由角平分线知∠ADF=ADC,∠ABE=ABC,结合∠ABC=ADC可得答案;
2)由∠A+C=180°知∠ADC+ABC=180°,结合∠ADF=ADC,∠ABE=ABC,得∠ADF+ABE=(∠ADC+ABC)可得答案;
3)根据四边形内角和得到∠ABC+ADC=180°,再根据角平分线定义得到∠ABE=ABC,∠ADF=ADC,则∠ABE+ADF=90°,加上∠AFD+ADF=90°,利用等角的余角相等得∠AFD=ABE,然后根据平行线的判定定理得到DFBE

解:(1)∵DF平分∠ADCBE平分∠ABC
∴∠ADF=ADC,∠ABE=ABC
又∠ABC=ADC
∴∠ADF=ABE
2)∵∠A+C=180°
∴∠ADC+ABC=180°
又∠ADF=ADC,∠ABE=ABC
∴∠ADF+ABE=(∠ADC+ABC=90°
3DFBE平行.
理由如下:
DAAB
∴在四边形ABCD中,∠A=C=90°
∴∠ABC+ADC=180°
∵∠ABC、∠ADC的平分线分别与CDAB相交于点EF
∴∠ABE=ABC,∠ADF=ADC
∴∠ABE+ADF=90°
而∠AFD+ADF=90°
∴∠AFD=ABE
DFBE

故答案为:(1)见解析;(2)∠ADF+ABE=90°,见解析;(3DFBE,见解析.

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