题目内容
【题目】已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图． 
（1）若BD是AC的中线，求 
的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分线，求 的值；
（3）结合（1）、（2），试推断 的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究 的值能小于 
吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由．
【答案】
（1）解：设CD=AD=a，则AB=AC=2a．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD= 
a，
∵∠A=∠E=90°，∠ADB=∠EDC，
∴△BAD∽△CED，
∴ 
= 
，
∴ 
= 
，
解得：CE= 
，
∴ 
= 
= 
（2）解：过点D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴AD=DF，
∵在Rt△ABC中，cos∠ABC= 
= 
，
在Rt△CDF中，sin∠DCF= 
= ，
即 
= ，
∴ 
= 
，
即 
= ，
∴CD=2（2﹣ 
）a，
∴AD=AC﹣CD=2a﹣2（2﹣ ）a=2（ ﹣1）a，
∴BD2=AD2+AB2=8（2﹣ ）a2，
∵Rt△ABD∽Rt△CED，
∴CE= 
= 
a2．
∴ = 
= 
=2
（3）解：当D在A点时， =1，
当D越来越接近C时， 越来越接近无穷大，
∴ 的取值范围是 ≥1．
设AB=AC=1，CD=x，AD=1﹣x，
在Rt△ABD中，BD2=12+（1﹣x）2，
又∵Rt△ABD∽Rt△ECD，
∴ 
，即 
= 
，
解得：CE= ，
若 
，则有3x2﹣10x+6=0，
∵0＜x≤1，
∴解得 
∴ 
，
表明随着点D从A向C移动时，BD逐渐增大，而CE逐渐减小， 的值则随着D从A向C移动而逐渐增大，
∴探究 的值能小于 
，此时AD= 
【解析】先设AB=AC=2a，CD=a，则BC= a，AD=a．求出BD，又求得Rt△ABD∽Rt△ECD，（1）BD是AC的中线，则CD=AD=x= 
，则解得；（2）BD是∠ABC的角平分线，则求得x，y值；（3）由以上两个问题，从 的比值求得x的值，则求得 
的值．
【考点精析】掌握等腰直角三角形和勾股定理的概念是解答本题的根本，需要知道等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．
