题目内容

【题目】如图,BD是△ABC的角平分线,它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G,连接ED,DG.

(1)请判断四边形EBGD的形状,并说明理由;

(2)若∠ABC=30°,∠C=45°,ED=2,点H是BD上的一个动点,求HG+HC的最小值.

【答案】1)四边形EBGD是菱形,理由见解析;(2.

【解析】试题分析:(1)四边形EBGD是菱形,根据已知条件易证△EFD≌△GFB,可得ED=BG,所以BE=ED=DG=GB,即可判定四边形EBGD是菱形.(2)作EM⊥BCMDN⊥BCN,连接ECBD于点H,此时HG+HC最小,在RT△EMC中,求出EMMC即可解决问题.

试题解析:(1)四边形EBGD是菱形.

理由:∵EG垂直平分BD

∴EB=EDGB=GD

∴∠EBD=∠EDB

∵∠EBD=∠DBC

∴∠EDF=∠GBF

△EFD△GFB中,

∴△EFD≌△GFB

∴ED=BG

∴BE=ED=DG=GB

四边形EBGD是菱形.

2)作EM⊥BCMDN⊥BCN,连接ECBD于点H,此时HG+HC最小,

RT△EBM中,∵∠EMB=90°∠EBM=30°EB=ED=2

∴EM=BE=

∵DE∥BCEM⊥BCDN⊥BC

∴EM∥DNEM=DN=MN=DE=2

RT△DNC中,∵∠DNC=90°∠DCN=45°

∴∠NDC=∠NCD=45°

∴DN=NC=

∴MC=3

RT△EMC中,∵∠EMC=90°EM=MC=3

∴EC===10

∵HG+HC=EH+HC=EC

∴HG+HC的最小值为10

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