如图①.在Rt△ABC中.已知∠A=90°.AB=AC.G.F分别是AB.AC上的两点.且GF∥BC.AF=2.BG=4．(1)求梯形BCFG的面积,(2)有一梯形DEFG与梯形BCFG重合.固定△ABC.将梯形DEFG向右运动.直到点D与点C重合为止.如图②．①若某时段运动后形成的四边形BDG'G中.DG⊥BG'.求运动路程BD的长.并求此时G'B2的值,②设运动中BD� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图①，在Rt△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，G、F分别是AB、AC上的两点，且GF∥BC，AF=2，BG=4．
（1）求梯形BCFG的面积；
（2）有一梯形DEFG与梯形BCFG重合，固定△ABC，将梯形DEFG向右运动，直到点D与点C重合为止，如图②．
①若某时段运动后形成的四边形BDG'G中，DG⊥BG'，求运动路程BD的长，并求此时G'B²的值；
②设运动中BD的长度为x，试用含x的代数式表示出梯形DEFG与Rt△ABC重合部分的面积S．

分析：（1）在Rt△ABC中由AB=AC得到∠ABC=∠ACB=45°．又由GF∥BC得到∠AGF=∠AFG=45°，由此得到AG=AF=2，AB=AC=6，而S_梯形GBCF=S_△ABC-S_△AGF，所以梯形的面积就可以求出了；
（2）①根据运动过程知道BDG′G是平行四边形，又DG⊥BG′，所以BDG′G是菱形，由此得到BD=BG=4，如图③过点G′作G′M⊥BC于点M，在Rt△G′DM中，∠G′DM=45°，DG′=4可以得到DM=G′M且DM²+G'M²=DG'²，求出DM=G'M=2

，接着得到BM=4+2

，然后在Rt△G′BM中，根据勾股定理可以求出BG'²；②当o≤x≤2

时，其重合部分为梯形，如图②．在Rt△AGF与Rt△ABC中分别求出GF，BC，过G点作GH垂直BC于点H，得GH=2

，由①知BD=GG′=x，DC=6

-x，G'F'=2

-x，现在就可以用x表示S了．当2

≤x≤6

时，其重合部分为等腰直角三角形，如图③．斜边DC=6

-x，斜边上的高为

-x)，现在也可以用x表示s了．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
又∵GF∥BC，
∴∠AGF=∠AFG=45°．
∴AG=AF=2，AB=AC=6．
∴S_梯形GBCF=S_△ABC-S_△AGF=

×6×6-

×2×2=16．

（2）①∵在运动过程中有DG′∥BG且DG′=BG，∴BDG′G是平行四边形．
当DG⊥BG′时，BDG′G是菱形．
∴BD=BG=4．
如图③，当BDG′G为菱形时，过点G′作G′M⊥BC于点M．
在Rt△G′DM中，∠G′DM=45°，DG′=4，
∴DM=G′M且DM²+G'M²=DG'²．
∴DM=G′M=2

，
∴BM=4+2

．连接G′B．
在Rt△G′BM中，G′B2=BM2+G′M2=(4+2

)2+(2

)2=32+16

．
②当0≤x≤2

时，其重合部分为梯形，如图②．
在Rt△AGF与Rt△ABC中，GF=

AG2+AF2

，BC=

AB2+AC2

．
过G点作GH垂直BC于点H，得GH=2

．
由①，知BD=GG′=x，DC=6

-x，G′F′=2