题目内容

【题目】阅读下列材料,然后解决问题:和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用,截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用.具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段,或将某条线段延长,使之与某特定线段相等,再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题.

(1)如图1,在ABC中,若 AB=12,AC=8,求 BC边上的中线AD的取值范围.

解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E使 DE=AD,再连接 BE,把AB、AC、2AD集中在ABE中.利用三角形三边的关系即可判断中线 AD的取值范围是_______.

问题解决:

(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,ABC+ADC=180°,E、F分别是边BC,CD上的两点,且EAF=BAD,求证:BE+DF=EF.

问题拓展:

(3)如图3,在ABC中,ACB=90°,CAB=60°,点DABC 外角平分线上一点,DEAC CA延长线于点E,F AC上一点,且DF=DB.

求证:AC﹣AE=AF.

【答案】(1)2<AD<10;(2)证明见解析;(3)证明见解析.

【解析】

(1)延长 AD 到点 E 使 DEAD,连接 BE,证明ADC≌△EDB,根据全等三角形的性质得到 BEAC,根据三角形三边关系计算;

(2)延长 CB G,使 BGDF,证明ABG≌△ADF,根据全等三角形的性质得到 AGAFGABFAD,证明AEG≌△AEF,根据全等三角形的性质证明;

(3) DHAB H,在 AB 上截取 BRAF,分别证明 RtDEFRtDHB

DAF≌△DRB,根据全等三角形的性质证明.

解:(1)延长 AD 到点E使 DE=AD,连接 BE,

ADC EDB中,

∴△ADC≌△EDB(SAS),

BE=AC=8,

AB﹣BE<AE<AB+BE,即21﹣8<2AD<12+8,

2<AD<10,

故答案为:2<AD<10;

(2)证明:延长 CB G,使 BG=DF,

∵∠ABC+ADC=180°,ABC+ABG=180°,

∴∠ADC=ABG,

ABG ADF 中,

∴△ABG≌△ADF(SAS),

AG=AF,GAB=FAD,

∵∠EAF= BAD,

∴∠FAD+BAE=GAB+BAE= BAD,

∴∠GAE=FAE,

AEG AEF 中,

∴△AEG≌△AEF(SAS),

EF=GE,

EF=BE+BG=BE+DF;

(3)证明:作 DHAB H,在 AB 上截取 BR=AF,

∵∠CAB=60°,ACB=90°,

∴∠ABC=30°,

AB=2AC,

∵点 D ABC 外角平分线上一点,DEAC,DHAB,

DE=DH,AH=AE,

RtDEF RtDHB 中,

RtDEFRtDHB(HL)

∴∠DFA=DBA,

DAF DRB 中,

∴△DAF≌△DRB(SAS)

DA=DR,

AH=HR=AE= AR,

AF=BR=AB﹣AR=2AC﹣2AE

AC﹣AE=AF.

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