Question

已知：如图，在四边形ABCD中，BC＜DC，∠BCD=60°，∠ADC=45°，CA平分∠BCD，AB=AD=2

2

，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：在CD上截取CF=CB，连接AF．过点A作AE⊥CD于点E，过A作AG⊥CB，交CB的延长线于G，根据全等得出S_△AGB=S_△AED，S_△ACG=S_△ACE，推出S_{四边形ABCD}=2_△ACE，证△ABC≌△AFC，推出AF=AD，求出AE=ED=2，CE=2

3

，FE=ED=2．，求出△ACE的面积即可．

解答：解：在CD上截取CF=CB，连接AF．过点A作AE⊥CD于点E，过A作AG⊥CB，交CB的延长线于G，
∵CA平分∠BCD，AG⊥BC，AE⊥CD，
∴AG=AE，∠G=∠AED=∠AEC=90°，
在Rt△AGB和Rt△AED中

AB=AD AG=AE

∴Rt△AGB≌Rt△AED（HL），
∴S_△AGB=S_△AED，
同理S_△ACG=S_△ACE，
即S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACE+S_△AED=S_△ACE+SS_△ACG=2_△ACE
∵CA平分∠BCD，∠BCD=60°，
∴∠BCA=∠FCA=30°，
在△ABC和△AFC中

BC=FC ∠ACB=∠ACF CA=CA.

∴△ABC≌△AFC，
∴AF=AB，
∵AB=AD，
∴AF=AD，
在Rt△ADE中，∠D=45°，AB=AD=2

2

，
∴sin∠ADE=

AE

AD

=

2

2

，
∴AE=ED=2，
在Rt△AEC中，∠ACE=30°，
∴tan∠ACE=

AE

EC

=

3

3

，
∴CE=2

3

，
∵AE⊥CD，
∴FE=ED=2．，
∴S_{四边形ABCD}=2S_△ACE=2×

1

2

×CE×AE
=2×

1

2

×2

3

×2
=4

3

．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，解直角三角形等知识点的应用，关键是推出四边形ABCD的面积等于2个△ACE的面积和求出△ACE的面积．