Question

如图，△ABC中，点O是AC边上的一动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，且

AE

BC

=

6

2

，求∠B的大小．

Answer 1

（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF．

（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
∵AO=CO，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECA+∠ACF=

1

2

∠BCD，
∴∠ECF=90°，
∴四边形AECF是矩形．

（3）当四边形AECF是正方形时，AO⊥EF，
∵BC∥EF，
∴AC⊥BC，AC=

2

AE，
∵

AE

BC

=

6

2

，
∴BC=

6

3

AE，
∴tanB=

AC

BC

=

2 AE

6 3 AE

=

3

，
∴∠B=60°．