题目内容

【题目】定义:有两条边长的比值为的直角三角形叫做魅力三角形我们知道,命题直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是一个真命题,所以30°角的直角三角形就是一个魅力三角形

1)设魅力三角形较短直角边为a,较长直角边为b,请你直接写出的值.

2)如图,在RtABC中,∠B90°BC6DAB的中点,点ECD上,满足ADDE,连结AE,过点DDFAEBC于点F

①如果点ECD的中点,求证:BDF魅力三角形

②如果BDF魅力三角形,且BFBC,求线段AC的长

(二次根式运算提示:(2n22n2a,比如:(4242216×348

【答案】12;2)①见解析;AC的长为2102

【解析】

1)设斜边长为c,分两种情况①当时,c=2a,由勾股定理求出b,即可得出的值;
②当时,b=2a,即可得出的值;

2)①证出∠BCD=30°,得出∠BDC=60°,由平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠EDF=BDF=30°,由直角三角形的性质得出BF=DF,即可得出结论;
②分四种情况 =时,求出BD=BF=1,得出AB=2BD=2,由勾股定理得出AC==2
=时,求出BD=2BF=4,得出AB=2BD=8,由勾股定理AC==10
=时,求出DF=2BF=4,由勾股定理得出BD==2,得出AB=2BD=4,由勾股定理得出AC==2
=时,由勾股定理求出BD=,得出AB=2BD=,由勾股定理得出AC==即可.

1)解:设斜边长为c,分两种情况:

①当时,c2a

b

②当时,b2a

2

综上所述,的值为2

2)①证明:∵DAB的中点,

ADBD

ADDE

BDDE

∵点ECD的中点,

DECD

BDCD

∵∠B90°

∴∠BCD30°

∴∠BDC60°

DFAE

∴∠DEA=∠EDF,∠DAE=∠BDF

ADDE

∴∠DAE=∠DEA

∴∠EDF=∠BDF30°

BFDF

∴△BDF魅力三角形

②解:分四种情况:

=时,

BFBCBC6

BF2

BDBF1

DAB的中点,

AB2BD2

AC2

=时,

BFBCBC6

BF2

BD2BF4

DAB的中点,

AB2BD8

AC10

=时,

BFBCBC6

BF2

DF2BF4

BD===2

DAB的中点,

AB2BD4

AC==2

=时,

DF2BD

BFBCBC6

BF2

由勾股定理得:DF2BD2BF2,即(2BD2BD222

解得:BD=

AB2BD

AC

综上所述,如果BDF魅力三角形,且BFBC,线段AC的长为2102

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