Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），且顶点坐标为B（0，1）．

（1）求抛物线M的函数表达式；

（2）设F（t，0）为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．

①抛物线M1的顶点B1的坐标为　 　；

②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) y=-x2+1;(2)①(2t,-1);②0<t≤.

【解析】

(1)利用顶点式列出函数表达式，再将另一个点的坐标代入函数表达式列出一元一次方程，求出函数表达式.

(2)作出图象，结合图象思考.

解：(1)∵抛物线的顶点坐标为B(0,1)

∴设抛物线M的函数表达式为y=ax2+1

∵抛物线M经过点A(-1,0)

∴a×(-1)2+1=0，解得a=-1

∴抛物线M的函数表达为y=-x2+1

(2) ①由题意得，点F为BB1的中点

∵F(t,0),设B1的坐标为(m,n)

∴,

∴m=2t，n=-1

∴B1(2t,-1).

②由题意可知抛物线M1的顶点B1的坐标为(2t,-1)，二次项系数为1，

∴抛物线M1的函数表达式为：y=(x-2t)2-1(t>0),

当抛物线M1经过点A(-1,0)时(如下图)：

∴(-1-2t)2-1=0,解得t1=-1,t2=0；

当抛物线M1经过点B(0,1)时(如上图)：

∴(0-2t)2-1=1,解得t=.

结合图象分析，因为t>0，所以当抛物线M1与线段AB有公共点时，t的取值范围是0<t≤.

故答案为：(1) y=-x2+1;(2)①(2t,-1);②0<t≤.