题目内容

【题目】若一个三位数满足条件:其百位数字与十位数字之和为个位数字,则称这样的三位数为“吉祥数”,将“吉祥数”m的百位数字与个位数字交换位置,交换后所得的新数叫做m的“如意数”.如156是一个“吉祥数”,651156的“如意数”.在吉祥数中当|xy|=01时,称其为“和谐吉祥数”.

1)个位数字为6的“和谐吉祥数”是   ,个位数字为9的“和谐吉祥数”是   

2)证明:任意一个“吉祥数”与其“如意数”之差都能被11整除;

3)已知m为“吉祥数”,nm的“如意数”,若mn的和能被8整除,求m

【答案】(1)336459549;(2)见解析;(3)m的值为167246325404729808

【解析】

1)首先应根据题目中所给的“和谐吉祥数”的概念,将它们表示出来即可;

2)由于[100x+y)+10y+x]﹣(100x+10y+x+y)=101x+110y101x11y99y9×11y,依此即可得到任意一个“吉祥数”与其“如意数”之差都能被11整除;

3)首先应根据题意表示出mn,又因为mn的和能被8整除.因此根据它们的范围一一验证即可求出最终m的值.

解:(1)因为3+3=6,|3-3|=0,所以个位数字为6的“和谐吉祥数”是 336

因为4+5=9,|5-4|=1,所以个位数字为9的“和谐吉祥数”是 459549

故答案为:336459549

2)证明:设吉祥数的百位为x,十位为y,则个位为x+y,则这个吉祥数为:100x+10y+x+y,它对应的如意数为100x+y)+10y+x.

∵[100x+y)+10y+x]﹣(100x+10y+x+y)=101x+110y101x11y99y9×11y

∴任意一个“吉祥数”与其“如意数”之差都能被11整除;

3)设吉祥数的百位为x,十位为y,则个位为x+y,则这个吉祥数为:100x+10y+x+y,它对应的如意数为100x+y)+10y+x.

m+n=(100x+10y+x+y)+[100x+y)+10y+x]=101x+11y+101x+110y202x+121y=200x+120y+2x+y

mn的和能被8整除,则2x+y要能被8整除

x1y6时,m+n928,m=167;

x2y4时,m+n888,m=246;

x3y2时,m+n848m325

x4y0时,m+n808,m=404;

x5y6时,x+y=11(不合题意舍去);

x6y4时,x+y=10(不合题意舍去);

x7y2时,m+n1656m729

x8y0时,m+n1616m=808

x9y6时,x+y=15(不合题意舍去);

m的值为167246325404729808

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