题目内容
【题目】如图，已知抛物线
与坐标轴分别交于点
、
和点
，动点
从原点
开始沿
方向以每秒
个单位长度移动，动点
从点
开始沿
方向以每秒个单位长度移动，动点、同时出发，当动点到达原点时，点、停止运动．
直接写出抛物线的解析式：________；
求
的面积
与点运动时间
的函数解析式；当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
当的面积最大时，在抛物线上是否存在点
（点除外），使
的面积等于的最大面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 
；（2）当
时，
；（3）当
的面积最大时，在抛物线上存在点
（点
除外），使
的面积等于的最大面积，点的坐标为：
或
或
【解析】
（1）将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=-
x2+bx+c即可求出抛物线的解析式为：y=-x2+3x+8；
（2）根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，然后由点A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，从而可得OD=8-t，然后令y=0，求出点E的坐标为（-2，0），进而可得OE=2，DE=2+8-t=10-t，然后利用三角形的面积公式即可求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式为：S=-t2+5t，然后转化为顶点式即可求出最值为：S最大=
；
（3）由（2）知：当t=5时，S最大=，进而可知：当t=5时，OC=5，OD=3，进而可得CD=
，从而确定C（0，5），D（3，0）然后根据待定系数法求出直线CD的解析式为：y=-
x+5，然后过E点作EF∥CD，交抛物线与点P，然后求出直线EF的解析式，与抛物线联立方程组解得即可得到其中的一个点P的坐标，然后利用面积法求出点E到CD的距离为
，然后过点D作DN⊥CD，垂足为N，且使DN=，然后求出N的坐标，然后过点N作NH∥CD，与抛物线交与点P，然后求出直线NH的解析式，与抛物线联立方程组求解即可得到其中的另两个点P的坐标．
(1) 将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=-x2+bx+c，
得：
，
解得：b=3，c=8，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+3x+8，
故答案为：y=-x2+3x+8；
∵点
、
，
∴
，
，
令
，得：
，
解得：
，
，
∵点在
轴的负半轴上，
∴点
，
∴
，
根据题意得：当
点运动
秒时，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
即
，
∴当时，；
由知：当时，，
∴当时，
，
，
∴
，
，
由勾股定理得：
，
设直线
的解析式为：
，
将，，代入上式得：
，
，
∴直线的解析式为：
，
过点作
，交抛物线与点，如图
，
设直线
的解析式为：
，
将代入得：
，
∴直线的解析式为：
，
将，与联立成方程组得：
，
解得：
，
，
∴；
过点作
，垂足为
，
∵当时，
，
∴
，
过点作
，垂足为
，且使
，过点作
轴，垂足为
，如图
，
可得
，
∴
，
即：
，
解得：
，
∴
，
由勾股定理得：
，
∴
，
过点作
，与抛物线交与点，如图，
设直线
的解析式为：，
将，代入上式得：
，
∴直线的解析式为：
，
将，与联立成方程组得：
，
解得：
，
，
∴或，
综上所述：当的面积最大时，在抛物线上存在点（点除外），使的面积等于的最大面积，点的坐标为：或或．
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