Question

【题目】如图，有边长为1的等边三角形和顶角为120°的等腰，以为顶点作角，两边分别交、于、，连结，则的周长为________.

Answer 1

【答案】2

【解析】

要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．

∵△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,

∴∠BCD=∠DBC=30°，

∵△ABC是边长为1的等边三角形，

∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，

∴∠DBA=∠DCA=90°，

延长AB至F，使BF=CN，连接DF，

在△BDF和△CND中，

∵，

∴△BDF≌△CND(SAS)，

∴∠BDF=∠CDN，DF=DN，

∵∠MDN=60°，

∴∠BDM+∠CDN=60°，

∴∠BDM+∠BDF=60°，

在△DMN和△DMF中，

∵ ，

∴△DMN≌△DMF(SAS)

∴MN=MF，

∴△AMN的周长是：

AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=1+1=2，

故答案为：2