题目内容
如图,已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B(5,0),另一个交点为A,且与y轴交于点C(0,5)。
(1)求直线BC与抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求MN的最大值;
(3)在(2)的条件下,MN取得最大值时,若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点,以BC为边作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为S1,△ABN的面积为S2,且S1=6S2,求点P的坐标。
(1)求直线BC与抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求MN的最大值;
(3)在(2)的条件下,MN取得最大值时,若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点,以BC为边作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为S1,△ABN的面积为S2,且S1=6S2,求点P的坐标。
解:(1)设直线BC的解析式为,
将B(5,0),C(0,5)代入,得,得。
∴直线BC的解析式为。
将B(5,0),C(0,5)代入,得,得。
∴抛物线的解析式。
(2)∵点M是抛物线在x轴下方图象上的动点,∴设M。
∵点N是直线BC上与点M横坐标相同的点,∴N。
∵当点M在抛物线在x轴下方时,N的纵坐标总大于M的纵坐标。
∴。
∴MN的最大值是。
(3)当MN取得最大值时,N。
∵的对称轴是,B(5,0),∴A(1,0)。∴AB=4。
∴。
由勾股定理可得,。
设BC与PQ的距离为h,则由S1=6S2得:,即。
如图,过点B作平行四边形CBPQ的高BH,过点H作x轴的垂线交点E ,则BH=,EH是直线BC沿y轴方向平移的距离。
易得,△BEH是等腰直角三角形,
∴EH=。
∴直线BC沿y轴方向平移6个单位得PQ的解析式:
或。
当时,与联立,得
,解得或。此时,点P的坐标为(-1,12)或(6,5)。
当时,与联立,得
,解得或。此时,点P的坐标为(2,-3)或(3,-4)。
综上所述,点P的坐标为(-1,12)或(6,5)或(2,-3)或(3,-4)。
将B(5,0),C(0,5)代入,得,得。
∴直线BC的解析式为。
将B(5,0),C(0,5)代入,得,得。
∴抛物线的解析式。
(2)∵点M是抛物线在x轴下方图象上的动点,∴设M。
∵点N是直线BC上与点M横坐标相同的点,∴N。
∵当点M在抛物线在x轴下方时,N的纵坐标总大于M的纵坐标。
∴。
∴MN的最大值是。
(3)当MN取得最大值时,N。
∵的对称轴是,B(5,0),∴A(1,0)。∴AB=4。
∴。
由勾股定理可得,。
设BC与PQ的距离为h,则由S1=6S2得:,即。
如图,过点B作平行四边形CBPQ的高BH,过点H作x轴的垂线交点E ,则BH=,EH是直线BC沿y轴方向平移的距离。
易得,△BEH是等腰直角三角形,
∴EH=。
∴直线BC沿y轴方向平移6个单位得PQ的解析式:
或。
当时,与联立,得
,解得或。此时,点P的坐标为(-1,12)或(6,5)。
当时,与联立,得
,解得或。此时,点P的坐标为(2,-3)或(3,-4)。
综上所述,点P的坐标为(-1,12)或(6,5)或(2,-3)或(3,-4)。
(1)由B(5,0),C(0,5),应用待定系数法即可求直线BC与抛物线的解析式。
(2)构造MN关于点M横坐标的函数关系式,应用二次函数最值原理求解。
(3)根据S1=6S2求得BC与PQ的距离h,从而求得PQ由BC平移的距离,根据平移的性质求得PQ的解析式,与抛物线联立,即可求得点P的坐标。
(2)构造MN关于点M横坐标的函数关系式,应用二次函数最值原理求解。
(3)根据S1=6S2求得BC与PQ的距离h,从而求得PQ由BC平移的距离,根据平移的性质求得PQ的解析式,与抛物线联立,即可求得点P的坐标。
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