题目内容

如图,已知边长为2的正三角形ABC沿着直线l滚动.设△ABC滚动240°时,C点的位置为C′,△ABC滚动480°时,A点的位置为A′.请你利用三角函数中正切的两角和公式:tan(α+β)=(tanα+tanβ)÷(1-tanα•tanβ),求出∠CAC′+∠CAA′的度数.(  )
A.30°B.90°C.60°D.45°
∵△ABC滚动240°时,C点的位置为C′,△ABC滚动480°时,A点的位置为A′,
过B作BD⊥AC于D,由等边三角形性质得:AD=1=CD,
由因为正三角形ABC的高BD=
22-12
=
3

tan∠CAC′=
3
2+2+1
=
3
5

tan∠CAA′=
3
4×2+1
=
3
9

∵由公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)÷(1-tanα•tanβ)得:
tan(∠CAC′+∠CAA′)=(tan∠CAC′+tan∠CAA′)÷(1-tan∠CAC′•tan∠CAA′)=(
3
5
+
3
9
)÷(1-
3
5
×
3
9
)=
3
3

∴∠CAC’+∠CAA’=30°,
故选A.
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