题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点.△ABC的边BC在x轴上,A、C两点的坐标分别为A(0,m)、C(n,0),B(-5,0),且,点P从B出发,以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动,设点P运动时间为t秒.
(1)求A、C两点的坐标;
(2)连接PA,用含t的代数式表示△POA的面积;
(3)当P在线段BO上运动时,在y轴上是否存在点Q,使△POQ与△AOC全等?若存在,请求出t的值并直接写出Q点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)A的坐标是(0,4),C的坐标是(3,0);(2)当0≤t<时,s=10-4t;当t=时,s=0;当t>时,
【解析】
试题分析:(1)根据偶次方和算术平方根的非负性得出n-3=0,3m-12=0,求出即可;
(2)分为三种情况:当0≤t<时,P在线段OB上,②当t=时,P和O重合,③当t>时,P在射线OC上,求出OP和OA,根据三角形的面积公式求出即可;
(3)分为四种情况:①当BP=1,OQ=3时,②当BP=2,OQ=4时,③④利用图形的对称性直接写出其余的点的坐标即可.
试题解析:(1)∵,
∴n-3=0,3m-12=0,
n=3,m=4,
∴A的坐标是(0,4),C的坐标是(3,0);
(2)∵B(-5,0),
∴OB=5,
①当0≤t<时,P在线段OB上,如图1,
∵OP=5-2t,OA=4,
∴△POA的面积S=×OP×AP=×(5-2t)×4=10-4t;
②当t=时,P和O重合,此时△APO不存在,即S=0;
③当t>时,P在射线OC上,如备用图2,
∵OP=2t-5,OA=4,
∴△POA的面积S=×OP×AP=×(2t-5)×4=4t-10;
(3)当P在线段BO上运动时,在y轴上存在点Q,使△POQ与△AOC全等,
∵P在线段BO上运动,
∴t≤5÷2=2.5,
①当BP=1,OQ=3时,△POQ和△AOC全等,
此时t=,Q的坐标是(0,3);
②当BP=2,OQ=4时,△POQ和△AOC全等,
此时t==1,Q的坐标是(0,4);
③④由对称性可知Q为(0,-3)、(0,-4)
综上所述,t=或1时,Q的坐标是(0,3)或(0,4)或(0,-3)或(0,-4).