题目内容

【题目】如图,在等边三角形ABC中,AB=12cm,动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AC匀速运动,动点Q同时从点B出发以同样的速度沿CB的延长线方向匀速运动,当点P到达点C时,点PQ同时停止运动.设运动时间为ts,过点PPEAB于点E,连接PQAB于点D.

⑴当t为何值时,CPQ为直角三角形?

⑵求DE的长.

⑶取线段BC的中点M,连接PM,将CPM沿直线PM翻折,得到CPM,连接AC,当t= 时,AC的值最小,最小值为 .

【答案】14;(26;(3

【解析】

1)由ABC是等边三角形,可知∠C=60°,再由CQ=2CP列式即可求得t的值;

2)过点QQFABAB的延长线于F,易证PEA≌△QFB(AAS),则EF=AB=12cm,易证PED≌△QFD(AAS)DE=DF,即可求得DE=EF=6

3)分析可知,点的轨迹为如图所示,过点PPNMN,当AM三点共线时,有最小值,再根据等边三角形性质及直角三角形性质求解即可.

解:(1)∵△ABC是等边三角形,

∴∠C=60°

∴当CQ=2CP时,∠CPQ=90°

12+t=2(12-t)

t=4

t=4时,CPQ是直角三角形.

(2)如图,过点QQFABAB的延长线于F

PEAB

∴∠PEA=F=90°

PA=QB,∠A=ABC=QBF=60°

∴△PEA≌△QFB(AAS)

AE=BF

EF=AB=12cm

∵∠PED=F=90°,∠PDE=QDFPE=QF

∴△PED≌△QFD(AAS)

DE=DF

DE=EF=6

(3)分析可知,点的轨迹为如图所示,过点PPNMN

∴当AM三点共线时,有最小值,

∵△ABC为等边三角形,MBC中点,

AMBC,∠ACM=60°

,

又∵

,则

又∵

解得:

即当时,AC的值最小,最小值为

故答案为:

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