题目内容

【题目】如图所示,在菱形ABCD中,AB=4BAD=120°AEF为正三角形,点EF分别在菱形的边BCCD上滑动,且EF不与BCD重合.

1)证明不论EFBCCD上如何滑动,总有BE=CF

2)当点EFBCCD上滑动时,分别探讨四边形AECF的面积和CEF的周长是否发生变化?如果不变,求出这个定值;如果变化,求出最小值.

【答案】1证明过程见解析;24+2

【解析】

试题分析:1连接AC,根据菱形的性质以及BAD=120°得出BAE=FAC以及ABCACD为正三角形,从而得出ABEACF全等,从而得出答案;2根据三角形全等得出ABE的面积=ACF的面积,从而得出四边形AECF的面积=ABC的面积,从而求出ABC的面积得出四边形的面积,根据垂线段最短得出当正三角形AEF的边AEBC垂直时,边AE最短,从而求出最小值

试题解析:1如图,连接AC四边形ABCD为菱形,BAD=120°

BAE+EAC=60°FAC+EAC=60°∴∠BAE=FAC

∵∠BAD=120°∴∠ABC=60°∴△ABCACD为等边三角形

∴∠ACF=60°AC=AB ∴∠ABE=AFC ABEACF中,∵∠BAE=FACAB=ACABE=AFC∴△ABE≌△ACFASA BE=CF

2四边形AECF的面积不变,CEF的周长发生变化理由如下:

1ABE≌△ACF,则,是定值

AHBCH点,则BH=2

CEF的周长=CE+CF+EF=CE+BE+EF=BC+EF=BC+AE

垂线段最短可知:当正三角形AEF的边AEBC垂直时,边AE最短.

AEF的周长会随着AE的变化而变化,且当AE最短时,CEF的周长会最小=4+

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