题目内容
【题目】如图1,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(2,0),B(﹣4,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在抛物线的第二象限图象上是否存在一点P,使得△PBC的面积最大?若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若不存,请说明理由.
【答案】(1)、y=﹣x2﹣2x+8;(2)、Q(﹣1,6);(3)、(﹣2,8)
【解析】
试题分析:(1)、直接利用待定系数求出二次函数解析式即可;(2)、首先求出直线BC的解析式,再利用轴对称求最短路线的方法得出答案;(3)、根据S△BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO﹣16,得出函数最值,进而求出P点坐标即可.
试题解析:(1)、将A(2,0),B(﹣4,0)代入得:, 解得:,
则该抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+8;
(2)、如图1,点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,设直线BC的解析式为: y=kx+d, 将点B(﹣4,0)、C(0,8)代入得:, 解得:,
故直线BC解析式为:y=2x+8, 直线BC与抛物线对称轴 x=﹣1的交点为Q,此时△QAC的周长最小.
解方程组得: 则点Q(﹣1,6)即为所求;
(3)、如图2,过点P作PE⊥x轴于点E,
P点(x,﹣x2﹣2x+8)(﹣4<x<0) ∵S△BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO﹣16
若S四边形BPCO有最大值,则S△BPC就最大
∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC=BEPE+OE(PE+OC)=(x+4)(﹣x2﹣2x+8)+(﹣x)(﹣x2﹣2x+8+8)
=﹣2(x+2)2+24,
当x=﹣2时,S四边形BPCO最大值=24, ∴S△BPC最大=24﹣16=8, 当x=﹣2时,﹣x2﹣2x+8=8,
∴点P的坐标为(﹣2,8).