Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15<x<30.过点D作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，使点A落在点F处，DF交BC于点G.

(1)用含x的代数式表示BF的长．

(2)设四边形DEBG的面积为S，求S关于x的函数表达式．

(3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．

Answer 1

【答案】(1)2x-30;(2) S＝－x2＋60x－450;(3)x=20时，S最大值为150

【解析】试题分析：（1）根据等式BF=AF-AB=2AE-AB=2DE-AB=2BC-AB，用含x的代数式表示BF的长；
（2）根据等量关系“S=S△DEF-S△GBF”列出S与x的函数关系式；
（3）根据（2）中的函数关系式和x的取值范围求S的最大值．

试题解析：

(1)∵DE＝BC＝x，∠A＝45°，DE⊥AE，

∴AE＝DE＝x.

由折叠知，EF＝AE＝x，

∴BF＝AF－AB＝2x－30.

(2)∵S△DEF＝EF·DE＝x2，

S△BFG＝BF·BG＝ (2x－30)2，

∴S＝x2－ (2x－30)2＝－x2＋60x－450.

(3)∵15<x<30，

∴当x＝＝20时，S有最大值，S最大＝150.