题目内容

如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=kx+b交于A（3，0）、C（0，3）两点，抛物线的顶点坐标为Q（2，-1）．点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交直线AC于点D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设P点的横坐标为t，PD的长度为l，求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点P的坐标．
（3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）∵抛物线的顶点为Q（2，-1），
∴设y=a（x-2）2-1，将C（0，3）代入，得：
3=a（0-2）2-1，
解得：a=1．
∴y=（x-2）2-1，即y=x2-4x+3；

（2）∵直线y=kx+b过（3，0），（0，3），则：
3k+b=0
b=3
，
解得：
k=-1
b=3
，
∴AB的解析式为：y=-x+3．
由题意有P（t，t2-4t+3），D（t，-t+3），
∴PD=l=（-t+3）-（t2-4t+3）=-t2+3t，
∴当t=
3
2
时，l取最大值，
此时P点的坐标为[
3
2
，（
3
2
）2-4×（
3
2
）+3]，
即P（
3
2
，-
3
4
）．

（3）①若AP是平行四边形的一条边时，平移直线AP（如图）交x轴于点E，交抛物线于点F．
此时当AP=FE时，四边形PAFE是平行四边形．
∵P（
3
2
，-
3
4
），
∴可令F（x，
3
4
）或F（x，-
3
4
）．
∴x2-4x+3=
3
4
或x2-4x+3=-
3
4
，
解之得x1=
4-
7
2
，x2=
4+
7
2
，x3=
5
2
，x4=
3
2
．
但当x1=
3
2
时，F点与P点重合，不能构成平行四边形．
满足条件的F点有三个，即F1（
4-
7
2
，
3
4
）、F2（
4+
7
2
，
3
4
）、F3（
5
2
，-
3
4
）；
②当AP是平行四边形的一条对角线时，要使以A、P、E、F为顶点的平行四边形，
则有PF∥AE，即F2的纵坐标与P点的纵坐标相同，即x2-4x+3=-
3
4
，
此种情况在①中已求得F3的坐标．
综上所述，满足条件的F点的坐标有三个，
即F1（
4-
7
2
，
3
4
）、F2（
4+
7
2
，
3
4
）、F3
5
2
（，-
3
4
）．
练习册系列答案
相关题目
已知抛物线y=
1
2
x2-mx+2m-
7
2
．
（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）如图，当抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x-1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？
如图，抛物线与y轴交于点A（0，4），与x轴交于B、C两点．其中OB、OC是方程的x2-10x+16=0两根，且OB＜OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AC上是否存在点D，使△BCD为直角三角形．若存在，求所有D点坐标；反之说理；
（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点（A点除外），连PA、PC，若设△PAC的面积为S，P点横坐标为t，则S在何范围内时，相应的点P有且只有1个．
如图，在△ABC中，AB=AC=5，以AB为直径的⊙P交BC于H．点A，B在x轴上，点H在y轴上，B点的坐标为（1，0）．
（1）求点A，H，C的坐标；
（2）过H点作AC的垂线交AC于E，交x轴于F，求证：EF是⊙P的切线；
（3）求经过A，O两点且顶点到x轴的距离等于4的抛物线解析式．
如图，已知⊙P的半径为3，圆心P在抛物线y=
1
2
x2上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为（　　）
A．（
6
，3）		B．（
3
，3）		C．（
6
，3）或（-
6
，3）		D．（
3
，3）或（-
3
，3）
函数y=-
3
16
x2+3的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，过点A、B分别作y轴、x轴的平行线交直线y=kx于点M、N．
（1）用k表示S△OBN：S△MAO的值．
（2）当S△OBN=
1
4
S△MAO时，求图象过点M、N、B的二次函数的解析式．
山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，每千克核桃应降价多少元？
（2）在（1）问的条件下，平均每天获利不变，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
（3）写出每天总利润y与降价x元的函数关系式，为了使每天的利润最大，应降价多少元？
两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED，按如图一所示的位置放置，点O与E重合．
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（2）当Rt△CED以（1）中的速度和方向运动，运动时间x=2秒时，Rt△CED运动到如图二所示的位置，若抛物线y=
1
4
x2+bx+c过点A，G，求抛物线的解析式；
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