题目内容

已知抛物线y=
1
2
x2-mx+2m-
7
2

(1)试说明:无论m为何实数,该抛物线与x轴总有两个不同的交点.
(2)如图,当抛物线的对称轴为直线x=3时,抛物线的顶点为点C,直线y=x-1与抛物线交于A、B两点,并与它的对称轴交于点D.
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
②平移直线CD,交直线AB于点M,交抛物线于点N,通过怎样的平移能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形?
(1)该函数的判别式=m2-4m+7=(m-2)2+3≥3
∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点.

(2)由直线y=x-1与抛物线交于A、B两点,
∴点A(1,0)
代入二次函数式则m=3
故二次函数式为:y=
1
2
x2-3x+
5
2

当抛物线的对称轴为直线x=3时,则y=-2,
即顶点C为(3,-2),
把x=3代入直线y=x-1则y=2,
即点D(3,2)
则AD=AC=2
2

设点P(x,
1
2
x2-3x+
5
2

由直线AD的斜率与直线PC的斜率相等
1
2
x2-3x+
5
2
+2
x-3
=1

解得:x=3或x=5
则点P(3,-2)(与点D重合舍去)或(5,0)
经检验点(5,0)符合,
所以点P(5,0)
②设直线AB解析式为y=kx+b,将A(1,0),D(3,2)代入得直线AB:y=x-1,
设M(a,a-1),N(a,
1
2
a2-3a+
5
2
),
当以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形,MN=CD,即|(a-1)-(
1
2
a2-3a+
5
2
)|=4,
解得a=4±
17
或3或5,
故把直线CD向右平移1+
17
个单位或2个单位,向左平移
17
-1个单位,能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.
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