Question

如图，抛物线与y轴交于点A（0，4），与x轴交于B、C两点．其中OB、OC是方程的x²-10x+16=0两根，且OB＜OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AC上是否存在点D，使△BCD为直角三角形．若存在，求所有D点坐标；反之说理；
（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点（A点除外），连PA、PC，若设△PAC的面积为S，P点横坐标为t，则S在何范围内时，相应的点P有且只有1个．

Answer 1

（1）解方程x²-10x+16=0，
得x₁=2，x₂=8，
则B（-2，0），C（8，0），
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，将A、B、C三点坐标代入抛物线得，

c=4 4a-2b+c=0 64a+8b+c=0

，
解得

a=- 1 4 b=1 1 2 c=4

故抛物线的解析式为y=-

1

4

x²+

3

2

x+4；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，将A、C两点坐标代入得，

b=4 8k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b=4

故直线AC的解析式为y=-

1

2

x+4；
直线AC上存在点D，使△BCD为直角三角形：
①∠DBC=90°时，x=-2，y=-

1

2

×（-2）+4=5，则D点坐标为（-2，5）；
②∠BDC=90°时，设直线BD的解析式为y=2x+b₁，则2×（-2）+b₁=0，解得b₁=4，故直线AC的解析式为y=2x+4；
联立两条直线的解析式

y=- 1 2 x+4 y=2x+4

，解得

x=0 y=4

，则D点坐标为（0，4）；
综上所述D点坐标为（-2，5）或（0，4）；

（3）P在抛物线AC上面积的最大值为16，P在抛物线AB上面积的最大值为20，
则S的取值范围为16＜S＜20．