题目内容
【题目】（1）如图，将直角的顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上，使角的一边交CD于点F，另一边交CB或其延长线于点G，求
的值；
（2）如图，将（1）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，其他条件不变．若AB＝m，BC＝n，试求的值；
（3）如图，将直角顶点E放在矩形ABCD的对角线交点，EF、EG分别交CD与CB于点F、G，且EC平分∠FEG．若AB＝2，BC＝4，直接写出EG、EF 的长．
【答案】（1）1；（2）
；（3）
, 
；
【解析】
（1）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，然后利用ASA证得Rt△FEI≌Rt△GEH，则问题得证；
（2）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
（3）过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，过点C作CP⊥EG交EG的延长线于点P，过点C作CQ⊥EF垂足为Q，可得四边形EPCQ是矩形，四边形EMCN是矩形，可得EC平分∠FEG，可得矩形EPCQ是正方形，然后易证△PCG≌△QCF（AAS），进而可得：CG=CF，由（2）知EF=2EG，易证EM和EN分别是△ABC和△BCD的中位线，进而可得：EM=1，EN=2，MC=2，CN=1，然后易证△EMG∽△ENF，进而可得
，即NF=2MG，然后设MG=x，根据CG=CF，列出方程即可解出x的值，即MG的值，然后在Rt△EMG中，由勾股定理即可求出EG的值，进而可得EF的值．
（1）证明：如图，过点E作EH⊥BC于H，过点E作EI⊥CD于I，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CE平分∠BCD，
又∵EH⊥BC，EI⊥CD，
∴EH=EI，
∴四边形EHCI是正方形，
∴∠HEI=90°，
∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，
∴∠IEF=∠GEH，
∴Rt△FEI≌Rt△GEH，
∴EF=EG；
即此时
；
（2）如图2，
过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，
则∠MEN=90°，
∴EM∥AB，EN∥AD，
∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，
∴
，
∴
，即
，
，
∴
，
∴
；
（3）如图3，
过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，
过点C作CP⊥EG交EG的延长线于点P，过点C作CQ⊥EF垂足为Q，
则四边形EPCQ是矩形，四边形EMCN是矩形，
∵EC平分∠FEG，
∴CQ=CP，
∴矩形EPCQ是正方形，
∴∠QCP=90°，
∴∠QCG+∠PCG=90°，
∵∠QCG+∠QCF=90°，
∴∠PCG=∠QCF，
在△PCG和△QCF中
，
∴△PCG≌△QCF（AAS），
∴CG=CF，
由（2）可得
即EF=2EG，
∵点E放在矩形ABCD的对角线交点，
∴EM和EN分别是△ABC和△BCD的中位线，
∴EM=
AB=1，EN=AD=BC=2，MC=BC＝2，CN=CD＝AB＝1，
∵四边形EMCN是矩形，
∴∠NEM=90°，
∴∠MEG+∠GEN=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠FEN+∠GEN=90°，
∴∠MEG=∠FEN，
∵∠EMG=∠FNE=90°，
∴△EMG∽△ENF，
∴，
即NF=2MG，
设MG=x，则NF=2x，CG=2-x，CF=1+2x，
∵CG=CF，
∴2-x=1+2x，
解得：x=
，
∴MG=，
在Rt△EMG中，由勾股定理得：EG=
=
，
∵EF=2EG，
∴EF=
．
【题目】如图，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于点E，D是AB边上一动点，连接CD交AE于点P，连接BP．已知AB =6cm，设B，D两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，A，P两点间的距离为y2cm．
小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整:
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，
与x的几组对应值：
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y1/cm | 2.49 | 2.64 | 2.88 | 3.25 | 3.80 | 4.65 | 6.00 |
y2/cm | 4.59 | 4.24 | 3.80 | 3.25 | 2.51 | 0.00 |
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，(x，)，并画出函数y1，的图象；
（3）结合函数图象，回答下列问题：
①当AP=2BD时，AP的长度约为 cm；
②当BP平分∠ABC时，BD的长度约为 cm．
