Question

（2012•沙县质检）如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线l₁：y=x²和点A（1，2）、B（3，1）．
（1）平移抛物线l₁，使平移后的抛物线经过点A，写出平移后的一个抛物线的函数表达式；
（2）平移抛物线l₁，使平移后的抛物线经过A、B两点，记平移后的抛物线为l₂．如图②所示，请在图②上用尺规作图的方式探究抛物线l₂上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，找出满足条件的点P（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由；
（3）设抛物线l₂的顶点为C，如图③，若K是y轴上一点，且S_△ABC=S_△AKC，求点K的坐标．

Answer 1

分析：（1）本题答案不唯一，符合条件均可；
（2）应有三点：①以A为圆心，AB为半径作弧可交抛物线l₂于一点；②以B为圆心，AB为半径坐标交抛物线于另一点；③作线段AB的垂直平行线可交抛物线于两点，因此共有4个符合条件的P点；
（3）可设出平移后的二次函数的解析式，然后将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得l₂的函数表达式，再通过求三角形的面积来求K的坐标．由于△ABC的面积无法直接求出，因此可其转换成其他规则图形面积的和差来解．分别过A、B、C三点作x轴的垂线，因此△ABC的面积可用三个直角梯形的面积差来求出．可先根据直线AB求出其与y轴的交点G的坐标，设出K点坐标后即可表示出KG的长，然后可根据△KBG和△KAG的面积差表示出△KAB的面积，然后根据得出的△ABC的面积即可求出K的坐标．

解答：解（1）有多种答案，符合条件即可．
例如y=x²+1，y=²+x，y=（x-1）²+2或y=x²-2x+3，

（2）作图痕迹如图所示．
由图可知，点P共有4个可能的位置．

（3）设抛物线l₂的函数表达式为y=x²+bx+c，
∵点A（1，2），B（3，1）在抛物线l₂上，
∵

1+b+c=2 9+3b+c=1

，
解得

b=- 9 2 c= 11 2

，
故抛物线l₂的函数表达式为y=x²-

9

2

x+

11

2

=（x-

9

4

）²+

7

16

，
故C点的坐标为（

9

4

，

7

16

），
过A，B，C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，F，
则AD=2，CF=

7

16

，BE=1，DE=2，DF=

5

4

，EF=

3

4

，
则S_△ABC=S_梯形ADEB-S_梯形ADFC-S_梯形CFEB=

1

2

（2+1）×2-

1

2

（2+

7

16

）×

5

4

-

1

2

（1+

7

16

）×

3

4

=

15

16

，
延长BA交y轴于点G，设直线AB的函数表达式为y=mx+n，
∵点A（1，2），B（3，1）在直线AB上，
∴

2=m+n 1=3m+n

，
解得

m=- 1 2 n= 5 2

，
故直线AB的函数表达式为y=-

1

2

x+

5

2

，
故G点的坐标为（0，

5

2

）
设K点坐标为（0，h），分两种情况：
①若K点位于G点的上方，则KG=h=

5

2

，
连接AK，BK．
S_△ABK=S_△BKG-S_△AKG=

1

2

×3×（h-

5

2

）-

1

2

×1×（h-

5

2

）=h-

5

2

，
∵S_△ABK=S_△ABC=

15

16

，
∴h-

5

2

=

15

16

，
解得h=

55

16

，
则K点的坐标为（0，

55

16

）
②若K点位于G点的下方，则KG=h-

5

2

，
同理可得，h=

25

16

，
则K点的坐标为（0，

25

16

），
综上可知K点的坐标为（0，

55

16

）或（0，

25

16

）．

点评：本题考查了二次函数图象的平移、二次函数解析式的确定、图形面积的求法、等腰三角形的构成情况等知识．综合性强，难度较大．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差进行求解．