Question

（2012•沙县质检）a是不为1的有理数，我们把

1

1-a

称为a的差倒数，如：2的差倒数是

1

1-2

=-1，-1的差倒数是

1

1-(-1)

=

1

2

．已知

a

1

=3，

a

2

是a₁的差倒数，a₃是

a

2

的差倒数，a₄是a₃的差倒数，…，以此类推，则a₂₀₁₂=

-

1

2

．

Answer 1

分析：根据题中的差倒数新定义，由a1的值，求出a2的值，同理分别求出a3，a4，a5，a6，a7，…，找出其中的规律为：其结果3，-

1

2

，

2

3

三个一循环，所以由所求式子的序号2012除以3，可得出余数为2，进而确定出所求式子的值为-

1

2

．

解答：解：∵a₁=3，a₂为a₁的差倒数，
∴a₂=

1

1-3

=-

1

2

，又a₃为a₂的差倒数，
∴a₃=

1

1+ 1 2

=

2

3

，又a₄为a₃的差倒数，
∴a₄=

1

1- 2 3

=3，又a₅为a₄的差倒数，
∴a₅=

1

1-3

=-

1

2

，
同理a₆=

2

3

，a₇=3，…，
∵2012÷3=670…2，
∴a₂₀₁₂=-

1

2

．
故答案为：-

1

2

点评：此题考查了分式的混合运算，属于新定义的题型，其中弄清题中的新定义，找出结果满足的规律是解本题的关键．