题目内容
已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（-3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l1交于点K，如图所示．（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；
（2）抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；
（3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标．
分析：（1）利用△BOC∽△COA，得出C点坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）可求得直线l1的解析式为y=-
x+
，直线l2的解析式为y=
x+
，进而得出D，E，F点的坐标即可得出，三条线段数量关系；
（3）利用等边三角形的判定方法得出△ABK为正三角形，以及易知△KDC为等腰三角形，进而得出△MCK为等腰三角形时M点坐标．
（2）可求得直线l1的解析式为y=-
| 3 |
| 3 |
| ||
| 3 |
| 3 |
（3）利用等边三角形的判定方法得出△ABK为正三角形，以及易知△KDC为等腰三角形，进而得出△MCK为等腰三角形时M点坐标．
解答：解：（1）解法1：∵l1⊥l2，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，
又∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCO=∠CAO，又∠COA=∠BOC=90°
∴△BOC∽△COA，
∴
=
，
即
=
，
∴CO=
，
∴点C的坐标是（0，
），
由题意，可设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+
，
把A（1，0），B（-3，0）的坐标分别代入y=ax2+bx+
，
得
，
解这个方程组，得
，
∴抛物线的函数解析式为y=-
x2-
x+
．
解法2：由勾股定理，得（OC2+OB2）+（OC2+OA2）=BC2+AC2=AB2，
又∵OB=3，OA=1，AB=4，
∴OC=
，
∴点C的坐标是（0，
），
由题意可设抛物线的函数解析式为y=a（x-1）（x+3），把C（0，
）代入
函数解析式得a=-
，
所以，抛物线的函数解析式为y=-
(x-1)(x+3)=-
x2-
x+
；
（2）解法1：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF．
理由如下：
设直线l1的解析式为y=kx+b，把A（1，0），C（0，
），代入解析式，
解得k=-
，b=
，
所以直线l1的解析式为y=-
x+
，
同理可得直线l2的解析式为y=
x+
，
抛物线的对称轴为直线x=-1，
由此可求得点K的坐标为（-1，2
），
点D的坐标为（-1，
），点E的坐标为（-1，
），点F的坐标为（-1，0），
∴KD=
，DE=
，EF=
，
∴KD=DE=EF．
解法2：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF，
理由如下：
由题意可知Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠CAB=60°，
则可得EF=BF×tan30°=
，KF=AF×tan60°=2
，
由顶点D坐标（-1，
）得DF=
，
∴KD=DE=EF=
；
（3）当点M的坐标分别为（-2，
），（-1，
）时，△MCK为等腰三角形．
理由如下：
（i）连接BK，交抛物线于点G，
∵F（-1，0），直线l1的解析式为y=-
x+
，
∴K（-1，2
），
∵B（-3，0），
∴直线BK的解析式为：y=
x+3
①，
∵抛物线的函数解析式为y═-
x2-
x+
②；
①②联立即可求出点G的坐标为（-2，
），
又∵点C的坐标为（0，
），则GC∥AB，
∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形，
∴△CGK为正三角形
∴当l2与抛物线交于点G，即l2∥AB时，符合题意，此时点M1的坐标为（-2，
），
（ii）连接CD，由KD=
，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC为等腰三角形，
∴当l2过抛物线顶点D时，符合题意，此时点M2坐标为（-1，
），
（iii）当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，
但点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形，
综上所述，当点M的坐标分别为（-2，
），（-1，
）时，△MCK为等腰三角形．
解：（1）解法1：∵l1⊥l2，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，
又∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCO=∠CAO，又∠COA=∠BOC=90°
∴△BOC∽△COA，
∴
| CO |
| BO |
| AO |
| CO |
即
| CO |
| 3 |
| 1 |
| CO |
∴CO=
| 3 |
∴点C的坐标是（0，
| 3 |
由题意，可设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+
| 3 |
把A（1，0），B（-3，0）的坐标分别代入y=ax2+bx+
| 3 |
得
|
解这个方程组，得
|
∴抛物线的函数解析式为y=-
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 3 |
解法2：由勾股定理，得（OC2+OB2）+（OC2+OA2）=BC2+AC2=AB2，
又∵OB=3，OA=1，AB=4，
∴OC=
| 3 |
∴点C的坐标是（0，
| 3 |
由题意可设抛物线的函数解析式为y=a（x-1）（x+3），把C（0，
| 3 |
函数解析式得a=-
| ||
| 3 |
所以，抛物线的函数解析式为y=-
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 3 |
（2）解法1：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF．
理由如下：
设直线l1的解析式为y=kx+b，把A（1，0），C（0，
| 3 |
解得k=-
| 3 |
| 3 |
所以直线l1的解析式为y=-
| 3 |
| 3 |
同理可得直线l2的解析式为y=
| ||
| 3 |
| 3 |
抛物线的对称轴为直线x=-1，
由此可求得点K的坐标为（-1，2
| 3 |
点D的坐标为（-1，
4
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
∴KD=
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
∴KD=DE=EF．
解法2：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF，
理由如下：
由题意可知Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠CAB=60°，
则可得EF=BF×tan30°=
2
| ||
| 3 |
| 3 |
由顶点D坐标（-1，
4
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
∴KD=DE=EF=
2
| ||
| 3 |
（3）当点M的坐标分别为（-2，
| 3 |
4
| ||
| 3 |
理由如下：
（i）连接BK，交抛物线于点G，
∵F（-1，0），直线l1的解析式为y=-
| 3 |
| 3 |
∴K（-1，2
| 3 |
∵B（-3，0），
∴直线BK的解析式为：y=
| 3 |
| 3 |
∵抛物线的函数解析式为y═-
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 3 |
①②联立即可求出点G的坐标为（-2，
| 3 |
又∵点C的坐标为（0，
| 3 |
∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形，
∴△CGK为正三角形
∴当l2与抛物线交于点G，即l2∥AB时，符合题意，此时点M1的坐标为（-2，
| 3 |
（ii）连接CD，由KD=
2
| ||
| 3 |
∴当l2过抛物线顶点D时，符合题意，此时点M2坐标为（-1，
4
| ||
| 3 |
（iii）当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，
但点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形，
综上所述，当点M的坐标分别为（-2，
| 3 |
4
| ||
| 3 |
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点，同学们应重点掌握．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
已知两直线l1和l2相交于点A（2，1），且直线l2经过坐标原点，若OA=OB
B两点，两直线相交于点A．
已知两直线l1，l2分别经过点A（3，0），点B（-1，0），并且当两直线同时相交于y负半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点D，如图所示．
（2012•成华区一模）已知两直线l1、l2分别经过点A（3，0），点B（-1，0），并且当两条直线同时相交于y轴负半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示．
已知两直线L1和L2，直线L1的解析式是y=x-4，且直线L1与x轴交于点C，直线L2经过A、B两点，两直线相交于点A．