题目内容

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1经过点A（-2，0）和点B（0，
2
3
3
），直线l2的函数表达式为y=-
3
3
x+
4
3
3
，l1与l2相交于点P．⊙C是一个动圆，圆心C在直线l1上运动，设圆心C的横坐标是a．过点C作CM⊥x轴，垂足是点M．
（1）填空：直线l1的函数表达式是
 
，交点P的坐标是
 
，∠FPB的度数是
 
°；
（2）当⊙C和直线l2相切时，请证明点P到直线的距离CM等于⊙C的半径R，并写出R=3
2
-2时a的值；
（3）当⊙C和直线l2不相离时，已知⊙C的半径R=3
2
-2，记四边形NMOB的面积为S（其中点N精英家教网是直线CM与l2的交点）．S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）因为直线l1经过点A（-2，0）和点B（0，
2
3
3
），可设直线l1的解析式为y=kx+b，将A、B的坐标代入，利用方程组即可求得该解析式，又因直线l2的函数表达式为y=-
3
3
x+
4
3
3
，l1与l2相交于点P，所以将两函数解析式联立得到方程组，解之即可得到交点P的坐标，过P作x轴的垂线段，垂足为H，由P的坐标可知，AH=EH=3，PH=
3
，所以∠PEA=∠PAE=30°，利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得到∠FPB是60°；
（2）当C在射线PA的延长线上时，设⊙C和直线l2相切时，D是切点，连接CD，则CD⊥PD．过点P作CM的垂线PG，垂足为G，因为∠CPG=∠CAB=30°，PC=PC，所以可证Rt△CDP≌Rt△PGC，所以PG=CD=R．当点C在射线PA上，⊙C和直线l2相切时，同理可证Rt△CDP≌Rt△PGC，所以PG=CD=R．取R=3
2
-2时，C在AP的反向延长线上时，因为P的横坐标为1，所以a=1+R=3
2
-1，C在PA上时，因为P的横坐标为1，所以a=-（R-1）=3-3
2
；
（3）当⊙C和直线l2不相离时，由（2）知，分两种情况讨论：①当0≤a≤3
2
-1时，四边形是一个直角梯形，所以有s=
1
2
[
2
3
3
+(-
3
3
a+
4
3
3
)]•a=-
3
6
a2+
3
a，利用二次函数的顶点公式即可求出S的最大值；
②当=3-3
2
≤a＜0时，显然⊙C和直线l2相切即a=3-3
2
时，S最大．此时
s最大值=
1
2
[
2
3
3
-
3
3
(3-3
2
)+
4
3
3
]•|3-3
2
|=
3
3
2
，综合以上①和②，即可求出答案．
解答：精英家教网解：（1）设直线l1的解析式为y=kx+b，
∵直线l1经过点A（-2，0）和点B（0，
2
3
3
），
∴
-2k+b=0
b=
2
3
3
，
解得
k=
3
3
b=
2
3
3
，
∴直线l1的解析式为y=
3
3
x+
2
3
3
；
联立l1与l2得，
y=
3
3
x+
2
3
3
y=-
3
3
x+
4
3
3
，
解得
x=1
y=
3
，
∴P（1，
3
）；
过P作x轴的垂线段，垂足为H，
∵P（1，
3
），
∴AH=EH=3，PH=
3
，
∴∠PEA=∠PAE=30°，
∴∠FPB=∠PEA+∠PAE=60°；

（2）设⊙C和直线l2相切时的一种情况如图1所示，D是切点，连接CD，则CD⊥PD．过点P作CM的垂线PG，垂足为G，则Rt△CDP≌Rt△PGC（∠PCD=∠CPG=30°，CP=PC），
∴PG=CD=R．精英家教网
当点C在射线PA上，⊙C和直线l2相切时，同理可证．
取R=3
2
-2时，a=1+R=3
2
-1，或a=-（R-1）=3-3
2
；

（3）当⊙C和直线l2不相离时，由（2）知，分两种情况讨论：
①如图2，当0≤a≤3
2
-1时，
s=
1
2
[
2
3
3
+(-
3
3
a+
4
3
3
)]•a=-
3
6
a2+
3
a，
a=
3
2×(-
3
6
)
=3时，（满足a≤3
2
-1），S有最大值．此时s最大值=
-3
4×(-
3
6
)
=
3
3
2
（
9
2
3
）；
②当=3-3
2
≤a＜0时，显然⊙C和直线l2相切即a=3-3
2
时，S最大．此时
s最大值=
1
2
[
2
3
3
-
3
3
(3-3
2
)+
4
3
3
]•|3-3
2
|=
3
3
2
．
综合以上①和②，当a=3或a=3-3
2
时，存在S的最大值，其最大面积为
3
3
2
．
点评：考查一次函数的解析式、图象、性质和圆的相关知识，及综合应用相关知识分析问题、解决问题的能力．
此题也较为新颖，符合新课标的理念，揭示了求最值的一般方法，本题的难度设置也较为合适，使同学们都能有发挥自己能力的空间．
练习册系列答案
相关题目
13、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，-2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的有
4
个．
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，并且经过（-2，-5）和（5，-12）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设此抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C 点，D是线段BC上一点（不与点B、C重合），若以B、O、D为顶点的三角形与△BAC相似，求点D的坐标；
（3）点P在y轴上，点M在此抛物线上，若要使以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标．
精英家教网如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为7
2
？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，-2），B（0，-2），在坐标平面中确定点P，使△AOP与△AOB相似，则符合条件的点P共有
5
5
个．
如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，1）、B（4，1）、C（1，3）．与△ABC与△ABD全等，则点D坐标为
（1，-1），（5，3）或（5，-1）
（1，-1），（5，3）或（5，-1）
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网