Question

【题目】已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
（3）将抛物线y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）图象在对称轴左侧部分沿直线y=3翻折得到新图象为G，若与直线y=x+2有三个交点，请直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0，

∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解，

即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点

（2）解：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3，

把函数y=（x﹣m）2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x﹣m）2的图象，它的顶点坐标是（m，0），

因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，

所以，把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点

（3）解：翻折后所得图象的解析式y=﹣（x﹣m）2+3，

①当直线y=x+2与抛物线y=x2﹣2mx+m2+3有一个交点时，则 ，

整理得，x2﹣（2m+1）x+m2+1=0

∴△=（2m+1）2﹣4（m2+1）=0，即m= ．

②当直线y=x+2与抛物线y=﹣（x﹣m）2+3有一个交点时，则 ，

整理得，x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0，

∴△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）=0，即m= ．

∴当 ＜m＜ 时，新图象为G，与直线y=x+2有三个交点

【解析】（1）求出根的判别式，即可得出答案；（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．（3）求出翻折后所得图象的解析式，然后分别求出原图象和直线，翻折后所得图象与直线有一个交点时的m的值，即可求得新图象为G与直线y=x+2有三个交点时的m的取值．