题目内容

如图，抛物线 $数学公式$ 与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B $数学公式$ ，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，
设OP的长度为m．
①当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；
②联结CM，BN，当m为何值时，四边形BCMN为平行四边形？

解：（1）∵抛物线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点A（0，1），B $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+1；

（2）①设直线的解析式是y=kx+b，
∵直线AB过点A（0，1）和B $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴直线AB的解析式为y= $\text{[math]}$ x+1，
∵PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP=m，
∴P（m，0），M（m， $\text{[math]}$ m+1），
∴PM= $\text{[math]}$ m+1；
②根据抛物线的解析式和P点的坐标可得：N（m，- $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ m+1），MN∥BC，
∴当MN=BC时，四边形BCMN为平行四边形，
1、当点P在线段OC上时，MN=- $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ m，
又∵BC= $\text{[math]}$ ，
∴- $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ m= $\text{[math]}$ ，
解得m₁=1，m₂=2；
2、当点P在线段OC的延长线上时，MN= $\text{[math]}$ m²- $\text{[math]}$ m，
∴ $\text{[math]}$ m²- $\text{[math]}$ m= $\text{[math]}$ ，
解得：m₁= $\text{[math]}$ （不合题意，舍去），m₂= $\text{[math]}$ ；
综上所述，当m的值为1或2或 $\text{[math]}$ 时，四边形BCMN是平行四边形．
分析：（1）根据抛物线 $\text{[math]}$ 过点A（0，1），B $\text{[math]}$ ，求出c，b的值，即可求出抛物线的解析式；
（2）①先设直线的解析式是y=kx+b，根据直线AB过点A（0，1）和B $\text{[math]}$ ，求出b，k的值，求出直线AB的解析式，再根据PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP=m，
得出P（m，0），M（m， $\text{[math]}$ m+1），即可求出PM的长度；
②根据抛物线的解析式和P点的坐标得出N（m，- $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ m+1），MN∥BC，再分两种情况讨论，当点P在线段OC上时，当点P在线段OC的延长线上时，求出MN的值，根据BC= $\text{[math]}$ ，得出- $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ m= $\text{[math]}$ ，求出m得值，即可得出答案．
点评：此题考查了二次函数的综合，在解题时要注意解析式的确定，（2）小题②中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．