Question

【题目】如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO．

（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明：PC是⊙O的切线；
（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：作图如右图，

连接OA，过O作OB⊥PC，

∵PA切⊙O于点A，

∴OA⊥PA，

又∵∠OPC=∠OPA，OB⊥PC，

∴OA=OB，即d=r，

∴PC是⊙O的切线；

（2）

解：∵PA、PC是⊙O的切线，

∴PA=PB，

又∵AB=AP=4，

∴△PAB是等边三角形，

∴∠APB=60°，

∴∠AOB=120°，∠POA=60°，

在Rt△AOP中，tan60°=

∴OA=

∴==．

【解析】（1）按照作一个角等于已知角的作图方法作图即可，连接OA，作OB⊥PC，根据角平分线的性质证明OA=OB即可证明PC是⊙O的切线；
（2）首先证明△PAB是等边三角形，则∠APB=60°，进而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧长公式计算即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用弧长计算公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的弧长为l，则l=nπr/180;注意：在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的．