Question

如图，已知反比例函数y=

k

x

(k＜0)的图象经过点A(-

3

，m)，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为

3

．
（1）求k和m的值；
（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求|AO|：|AC|的值；
（3）若D为坐标轴上一点，使△AOD是以AO为一腰的等腰三角形，请写出所有满足条件的D点的坐标．

Answer 1

分析：（1）由三角形面积和反比例函数经过的点可以求出k和m的值；
（2）由（1）的结果，可得出AO的长度，再由线段与坐标轴的交点求出直线方程，从而得出C点坐标，得出AC的值；
（3）根据等腰三角形的性质及点在坐标轴上进行分类讨论，得出正确的结果．

解答：解：（1）∵AB⊥x轴，
∴S△AOB=

1

2

|xAyA|=

1

2

|k|=

3

．
∵k＜0，
∴k=-2

3

．
∵-

3

m=k，
∴m=2．
故k和m的值分别为-2

3

和2．

（2）由（1）得m=2，
∴A(-

3

，2)，
∴由已知得2=-

3

a+1，
∴a=-

3

3

，
∴一次函数为y=-

3

3

x+1，令y=0得x=

3

，
∴C(

3

，0)，
∴OC=

3

．
∵OB=

3

，
∴BC=2

3

，AC=

AB2+BC2

=4．
又∵AO=

(- 3 )2+22

=

7

故AO：AC=

7

：4．

（3）由（2）知，AO=

7

，
又∵D为坐标轴上一点，使△AOD是以AO为一腰的等腰三角形，
∴由分析可知：
满足D点的坐标为：（0，±

7

），（0，4），（-2

3

，0），（±

7

，0）．

点评：本题综合考查反比例函数与方程组的相关知识点．先由点的坐标求函数解析式，然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想．同时还加入了分类讨论的内容．