题目内容

已知△ABC中,∠A=x°
(1)如图1,若∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O,则用x表示∠BOC=______°
(2)如图2,若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2,则用x表示∠BO1C=______°
(3)如图3,若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、…、On-1,则用x表示∠BO1C=______°
(1)∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O,
∴2∠OBC=∠ABC,2∠OCB=∠ACB,
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠A+2∠OBC+2∠OCB=180°,
∴∠OBC+∠OCB=90°-
1
2
∠A,
∵∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=90°+
1
2
∠A,
∵∠A=x°,
∴∠BOC=(90+
1
2
x)°;

(2)∵∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2
∴∠O1BC=
2
3
∠ABC,∠O1CB=
2
3
∠ACB,
3
2
∠O1BC=∠ABC,
3
2
∠O1CB=∠ACB,
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠A+
3
2
∠O1BC+
3
2
∠O1CB=180°,
∴∠O1BC+∠O1CB=
2
3
(180°-∠A),
∵∠BOC=180°-(∠O1BC+∠O1CB)=60°+
2
3
∠A,
∵∠A=x°,
∴∠BOC=(60+
2
3
x)°;

(3)由(1)(2)可得规律为:
若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、…、On-1
则用x表示∠BO1C=(
180
n
+
n-1
n
x)°.
故答案为:(1)90+
1
2
x,(2)60+
2
3
x,(3)
180
n
+
n-1
n
x.
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