题目内容

已知a= $数学公式$ ，b= $数学公式$ ，则代数式（a+b）²-（a-b）²的值为________．

2
分析：能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两个平方项；符号相反．此题要注意把（a+b）与（a-b）看作整体来处理．
解答：（a+b）²-（a-b）²=（a+b+a-b）（a+b-a+b）
=2a•2b=4ab
=4× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =2．
点评：主要考查了用分解因式的方法简化计算．解此题的关键是能看出（a+b）²-（a-b）²能利用平方差公式进行分解因式．能用公式法进行因式分解的式子的特点需识记．

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阅读下列范例，按要求解答问题．
例：已知实数a、b、c满足a+b+2c=1，a²+b²+6c+

=0，求a、b、c的值．
解法1：由已知得a+b=1-2c，①（a+b）²-2ab+6c+

=0．②
将①代入②，整理得4c²+2c-2ab+

=0．∴ab=2c²+c+

③
由①、③可知，a、b是关于t的方程t²-（1-2c）t+2c²+c+

=0④的两个实数根．
∴△=（1-2c）²-4（2c²+c+

≥0，即（c+1）²≤0．而（c+1）²≥0，∴c+l=0，c=-1，
将c=-1代入④，得t²-3t+

=0．∴t₁=t₂=

．∴a=b，c=-1．
解法2∵a+b+2c=1，∴a+b=1-2c、设a=

-t．①
∵a²+b²+6c+

=0，∴（a+b）²-2ab+6c+

=0．②
将①代入②，得（1-2c）²-2(

=0．
整理，得t²+（c²+2c+1）=0，即t²+（c+1）²=0．∴t=0，c=-1．
将t、c的值同时代入①，得a=

，c=-1．
以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数x、y满足x+y=m，xy=n，则x、y是关于t的一元二次方程t²-mt+n=0的两个实数根，然后利用判别式求解．
以上解法2是采用均值换元解决问题．若实数x、y满足x+y=m，则可设x=

-t．一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决．
下面给出两个问题，解答其中任意一题：
（1）用另一种方法解答范例中的问题．
（2）选用范例中的一种方法解答下列问题：
已知实数a、b、c满足a+b+c=6，a²+b²+c²=12，求证：a=b=c．

已知一个口袋中装有四个完全相同的小球，小球上分别标有-1，0，1，2四个数，搅匀后一次从中摸出两个小球，将小球上的数分别用a，b表示，将a、b代入方程组

，则方程组有解的概率是

根据一元二次方程根的定义，解答下列问题．
一个三角形两边长分别为3cm和7cm，第三边长为a cm，且整数a满足a²-10a+21=0，求三角形的周长．
解：由已知可得4＜a＜10，则a可取5，6，7，8，9．（第一步）
当a=5时，代入a²-10a+21=5²-10×5+21≠0，故a=5不是方程的根．
同理可知a=6，a=8，a=9都不是方程的根．
∴a=7是方程的根．（第二步）
∴△ABC的周长是3+7+7=17（cm）．
上述过程中，第一步是根据

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边

，第二步应用了

数学思想，确定a的值的大小是根据

方程根的定义

方程根的定义

某商贸服务公司，为客户出售货物，收取3%的服务费；代客户购置物品，收取2%服务费．今有一客户委托该公司出售自产的某种物品并代为购置新设备．已知该公司共扣取了客户服务费264元，而客户恰好收支平衡，则所购置的新设备的费用为多少元？

【阅读理解】问题：已知方程x²+2x-3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=

代入已知方程，得（

-3=0．
化简得y²+4y-12=0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
【解决问题】请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程x²+2x-3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为

；
（2）已知关于x的方程x²+nx+m=0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．