题目内容
【题目】在
中，
，
，点
在直线
上（
，
除外），
的垂线
与
的垂线
交于点
，研究和的数量关系.
（1）在探究，的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点是的中点时，只需要取
边的中点
（如图），通过推理证明就可以得到
的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系：_____________________
（2）当点是线段上（，除外）任意一点（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？证明你的结论；
（3）点在线段的延长线上，上面得到的结论是否仍然成立呢？在下图中画出图形，并证明你的结论.
【答案】（1）AE=EF；（2）成立，证明见详解；（3）成立，画图、证明见详解.
【解析】
（1）证△AGE≌△EBF即可；
（2）在AC上截取点G使AG=EB，再证△AGE≌△EBF即可；
（3）在AC延长线上截取点G使AG=EB，再证△AGE≌△EBF即可.
证明：（1）∵AB=AC，∠C=90°，G、E分别是AC、BC的中点
∴AG=BE，CG=CE，∠CAB=∠CBA=45°，∠CGE=45°
∵AB⊥BF
∴∠EBF=∠CAB＋∠ABF=135°
∠AGE=180°－∠CGE=135°
∴∠EBF =∠AGE
∵AE⊥EF
∴∠AEC＋∠FEB=90°
∵∠CAE＋∠AEC=90°
∴∠FEB=∠CAE
在△AGE和△EBF中
∴△AGE≌△EBF
∴AE=EF
（2）成立；在AC上截取点G使AG=EB，
∵AB=AC，∠C=90°AG=BE
∴CG=CE，∠CAB=∠CBA=45°，∠CGE=45°
∵AB⊥BF
∴∠EBF=∠CAB＋∠ABF=135°
∠AGE=180°－∠CGE=135°
∴∠EBF =∠AGE
∵AE⊥EF
∴∠AEC＋∠FEB=90°
∵∠CAE＋∠AEC=90°
∴∠FEB=∠CAE
在△AGE和△EBF中
∴△AGE≌△EBF
∴AE=EF
（3）成立，如下图：在AC延长线上截取点G使AG=EB
∵AB=AC，∠C=90°AG=BE
∴CG=CE，∠CAB=∠CBA=45°，∠CGE=45°
∵AB⊥BF
∴∠EBF=90°－∠CBA=45°
∴∠CGE =∠EBF
∵AE⊥EF
∴∠AEC＋∠FEB=90°
∵∠CAE＋∠AEC=90°
∴∠FEB=∠CAE
在△AGE和△EBF中
∴△AGE≌△EBF
∴AE=EF
