Question

如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．
（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；
（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）BE平分∠ABC．由已知中边的相等，可得∠CAD=∠D，∠ABC=∠ACB，再利用同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD=∠D=∠DBE，即有∠ABE+∠EBD=∠CAD+∠D，利用等量减等量差相等，可得∠EBD=∠D=∠ABE，故得证．
（2）有（1）中的所证条件∠ABE=∠FAE，再加上两个三角形的公共角，可证△BEA∽△AEF，利用比例线段可求EF．

解答：解：（1）BE平分∠ABC．（1分）
理由：∵CD=AC，
∴∠D=∠CAD．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB
∵∠EBC=∠CAD，
∴∠EBC=∠D=∠CAD．（4分）
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ACB=∠D+∠CAD，
∴∠ABE=∠EBC，
即BE平分∠ABC．（6分）

（2）由（1）知∠CAD=∠EBC=∠ABE．
∵∠AEF=∠AEB
∴△BEA∽△AEF．（8分）
∴

AE

BE

=

EF

AE

，
∵AE=6，BE=8．
∴EF=

AE2

BE

=

36

8

=

9

2

．（10分）

点评：本题考查了圆周角定理，以及等腰三角形的性质，等边对等角，角平分线的判定，还有相似三角形的判定和性质等知识．