Question

操作实验：

如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称．
所以△ABD≌△ACD，所以∠B=∠C．
归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．
根据上述内容，回答下列问题：
思考验证：如图（4），在△ABC中，AB=AC．试说明∠B=∠C的理由；

探究应用：如图（5），CB⊥AB，垂足为B，DA⊥AB，垂足为A．E为AB的中点，AB=BC，CE⊥BD．
（1）BE与AD是否相等，为什么？
（2）小明认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；
（3）∠DBC与∠DCB相等吗试？说明理由．

Answer 1

分析：思考验证：作等腰三角形底边上的高，构造全等三角形．
（1）BE与AD在两个直角三角形中，证这两个直角三角形全等即可；
（2）可证点A，C在线段DE的垂直平分线上．注意结合（1）的结论，利用全等证明即可；
（3）由第二问的垂直平分线的性质，得到CD=CE，由第一问的全等得到DB=CE，那么CD=BD，所以∠DBC=∠DCB．

解答：解：思考验证：

过A点作AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，

AB=AC AD=AD

，
∴△ABD≌△ACD（HL），
∴∠B=∠C；

探究应用：

（1）说明：因为BD⊥EC，
∴∠CEB+∠1=90°，
∠1+∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠BEC，
在△ADB和△BEC中

∠ADB=∠BEC AB=BC ∠DAB=∠EBC=90°

，
∴△DAB≌△EBC（ASA）．
∴DA=BE．

（2）∵E是AB中点，
∴AE=BE．
∵AD=BE，
∴AE=AD．
在△ABC中，因为AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA．
∴∠BAC=∠DAC．
在△ADC和△AEC中，

AD=AE ∠DAC=∠EAC AC=AC

，
∴△ADC≌△AEC（SAS）．
∴DC=CE．
∴C在线段DE的垂直平分线上．
∵AD=AE，
∴A在线段DE的垂直平分线上．
∴AC垂直平分DE．

（3）∵AC是线段DE的垂直平分线，
∴CD=CE．
∵△ADB≌△BEC，
∴DB=CE．
∴CD=BD．
∴∠DBC=∠DCB．

点评：做等腰三角形的底边上的高是常用的辅助线方法．当线段在两个三角形中时，一般要证明这两条线段所在的三角形全等；证明在同一个三角形中的两个角相等时，要利用等边对等角这个知识点．