Question

如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD=2

3

cm，
求：（1）直径AB的长．
  （2）弓形DBC的面积．（结果保留π）

Answer 1

分析：（1）连接OC，先证出PC=PD，求出PC，根据P是OB的中点，得出OP=

1

2

OB=

1

2

OC，再根据勾股定理求出OC的值，从而得出AB的长；
（2）在Rt△OPC中，根据OP=

1

2

OC，得出∠C=30°，从而求出∠COD=120°，再分别求出S_扇形OCD和S_△COD，最后根据S_弓形DBC=S_扇形OCD-S_△COD进行计算即可．

解答：解：（1）连接OC，如图，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴PC=PD，
∵CD=2

3

，
∴PC=

3

，
又∵P是OB的中点，
∴OP=

1

2

OB=

1

2

OC，
在Rt△OPC中，OP²+PC²=OC²，
（

1

2

OC）²+（

3

）²=OC²，
∴OC=2，
∴AB=2OC=4（cm）；

（2）在Rt△OPC中，
∵OP=

1

2

OC，
∴∠C=30°，
∴∠COP=60°，
∴∠COD=120°，
∴S_扇形OCD=

120•π×22

360

=

4π

3

；
∵S_△COD=

1

2

CD•OP=

1

2

×2

3

×1=

3

，
∴S_弓形DBC=S_扇形OCD-S_△COD=

4π

3

-

3

（cm²）．

点评：本题考查了垂径定理，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、扇形、三角形的面积公式，解题的关键是正确地构造直角三角形．