Question

【题目】（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：

如图（1），在中，点在线段上，，，，，求的长．经过社团成员讨论发现：过点作，交的延长线于点，通过构造就可以解决问题，如图（2）．请回答：______．

（2）求的长．

（3）请参考以上解决思路，解决问题：如图（3），在四边形中，对角线与相交于点，，，，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）75°；（2）；（3）．

【解析】

（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°；

（2）结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB的长；

（3）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE的长．在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．

（1）∵BD∥AC，

∴∠ADB=∠OAC=75°．

（2）∵∠BOD=∠COA，∠ADB=∠OAC，

∴△BOD∽△COA，

∴．

又∵AO，

∴ODAO，

∴AD=AO+OD=．

∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，

∴∠ABD=180°﹣∠BAD﹣∠ADB=75°=∠ADB，

∴AB=AD=．

（3）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．

∵AC⊥AD，BE∥AD，

∴∠DAC=∠BEA=90°．

∵∠AOD=∠EOB，

∴△AOD∽△EOB，

∴．

∵BO：OD=1：3，

∴．

∵AO=，

∴EO，

∴AE=．

∵∠ABC=∠ACB=75°，

∴∠BAC=30°，AB=AC，

∴AB=2BE．

在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即()2+BE2=(2BE)2，

解得：BE=，

∴AB=AC=，AD=4．

在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即，

解得：CD=．