Question

如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长AB、ED交于点F，AD平分∠BAC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AE=3，BF=2，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠OAD=∠CAD（已知），
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴EF⊥OD，
即∠ODE=90°，
∵OD为半径，
∴EF是⊙O的切线．

（2）解：设⊙O的半径为x．
∵OD∥AE，
∴△ODF∽△AEF，
∴，
即，
解得：x₁=2，x₂=（舍去）．
∴⊙O的半径为2．
分析：（1）连接OD，根据OA=OD和角平分线性质得出∠ODA=∠DAE，推出OD∥AC，得出∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据平行线得出△ODF∽△AEF，得出比例式，代入求出即可．
点评：本题考查了切线的判定、相似三角形的性质和判定、角平分线性质、平行线的性质和判定，解（1）的关键是求出∠ODE=90°，解（2）的关键是得出关于r的方程．