题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,以边上AC上一点O为圆心,OA为半径作⊙O,⊙O恰好经过边BC的中点D,并与边AC相交于另一点F.
(1)求证:BD是⊙O的切线.
(2)若AB=,E是半圆上一动点,连接AE,AD,DE.
填空:
①当的长度是 时,四边形ABDE是菱形;
②当的长度是 时,△ADE是直角三角.
【答案】(1)证明见解析;(2)①π;②π或π.
【解析】试题分析:(1)首先连接OD,由在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,⊙O恰好经过边BC的中点D,易得AB=BD,继而证得∠ODB=∠BAC=90°,即可证得结论;
(2)①易得当DE⊥AC时,四边形ABDE是菱形,然后求得∠AOE的度数,半径OD的长,则可求得答案;
②分别从∠ADE=90°,∠DAE=90°,∠AED=90°去分析求解即可求得答案.
试题解析:(1)证明:如图1,连接OD,
∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,
∴AB=BC,
∵D是BC的中点,
∴BD=BC,
∴AB=BD,
∴∠BAD=∠BDA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠ODB=∠BAO=90°,
即OD⊥BC,
∴BD是⊙O的切线.
(2)①当DE⊥AC时,四边形ABDE是菱形;
如图2,设DE交AC于点M,连接OE,则DE=2DM,
∵∠C=30°,
∴CD=2DM,∴DE=CD=AB=BC,
∵∠BAC=90°,
∴DE∥AB,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∵AB=BD,
∴四边形ABDE是菱形;
∵AD=BD=AB=CD=BC=,
∴△ABD是等边三角形,OD=CDtan30°=1,
∴∠ADB=60°,
∵∠CDE=90°﹣∠C=60°,
∴∠ADE=180°﹣∠ADB﹣∠CDE=60°,
∴∠AOE=2∠ADE=120°,
∴的长度为: = ;
故答案为: ;
②若∠ADE=90°,则点E与点F重合,此时的长度为: =π;
若∠DAE=90°,则DE是直径,则∠AOE=2∠ADO=60°,此时的长度为:
∵AD不是直径,
∴∠AED≠90°;
综上可得:当的长度是π或π时,△ADE是直角三角形.
故答案为: π或π.