题目内容

【题目】爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时,发现了“中垂三角形”,即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图(1)、图(2)、图(3)中,AM、BN是△ABC的中线,AM⊥BN于点P,像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a,AC=b,AB=c.

【特例探究】

(1)如图1,当tan∠PAB=1,c=4时,a=  ,b=  

如图2,当∠PAB=30°,c=2时,a=  ,b=  

【归纳证明】

(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想a2、b2、c2三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你的结论.

【拓展证明】

(3)如图4,ABCD中,E、F分别是AD、BC的三等分点,且AD=3AE,BC=3BF,连接AF、BE、CE,且BE⊥CE于E,AF与BE相交点G,AD=3,AB=3,求AF的长.

【答案】144.(2a2+b2=5c2,理由见解析.(3)4.

【解析】试题分析:(1首先证明△APB△PEF都是等腰直角三角形,求出PAPBPEPF,再利用勾股定理即可解决问题.连接EF,在RT△PABRT△PEF中,利用30°性质求出PAPBPEPF,再利用勾股定理即可解决问题.(2)结论a2+b2=5c2.设MP=xNP=y,则AP=2xBP=2y,利用勾股定理分别求出a2b2c2即可解决问题.(3)取AB中点H,连接FH并且延长交DA的延长线于P点,首先证明△ABF是中垂三角形,利用(2)中结论列出方程即可解决问题.

试题解析:(1)解:如图1中,∵CE=AECF=BF

∴EF∥ABEF=AB=2

∵tan∠PAB=1

∴∠PAB=∠PBA=∠PEF=∠PFE=45°

∴PF=PE=2PB=PA=4

∴AE=BF==2

∴b=AC=2AE=4a=BC=4

如图2中,连接EF

∵CE=AECF=BF

∴EF∥ABEF=AB=1

∵∠PAB=30°

∴PB=1PA=

RT△EFP中,∵∠EFP=∠PAB=30°

∴PE=PF=

∴AE==BF==

∴a=BC=2BF=b=AC=2AE=

2)结论

证明:如图3中,连接EF

∵AFBE是中线,

∴EF∥ABEF=AB

∴△FPE∽△APB

==

FP=xEP=y,则AP=2xBP=2y

∴a2=BC2=4BF2=4FP2+BP2=4x2+16y2

b2=AC2=4AE2=4PE2+AP2=4y2+16x2

c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2

∴a2+b2=20x2+20y2=54x2+4y2=5c2

3)解:如图4中,在△AGE△FGB中,

∴△AGE≌△FGB

∴BG=FG,取AB中点H,连接FH并且延长交DA的延长线于P点,

同理可证△APH≌△BFH

∴AP=BFPE=CF=2BF

PE∥CFPE=CF

四边形CEPF是平行四边形,

∴FP∥CE

∵BE⊥CE

∴FP⊥BE,即FH⊥BG

∴△ABF是中垂三角形,

由(2)可知AB2+AF2=5BF2

∵AB=3BF=AD=

∴9+AF2=5×2

∴AF=4

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