题目内容
【题目】爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时,发现了“中垂三角形”,即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图(1)、图(2)、图(3)中,AM、BN是△ABC的中线,AM⊥BN于点P,像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a,AC=b,AB=c.
【特例探究】
(1)如图1,当tan∠PAB=1,c=4时,a= ,b= ;
如图2,当∠PAB=30°,c=2时,a= ,b= ;
【归纳证明】
(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想a2、b2、c2三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你的结论.
【拓展证明】
(3)如图4,ABCD中,E、F分别是AD、BC的三等分点,且AD=3AE,BC=3BF,连接AF、BE、CE,且BE⊥CE于E,AF与BE相交点G,AD=3,AB=3,求AF的长.
【答案】(1)4,4;,.(2)a2+b2=5c2,理由见解析.(3)4.
【解析】试题分析:(1)①首先证明△APB,△PEF都是等腰直角三角形,求出PA、PB、PE、PF,再利用勾股定理即可解决问题.②连接EF,在RT△PAB,RT△PEF中,利用30°性质求出PA、PB、PE、PF,再利用勾股定理即可解决问题.(2)结论a2+b2=5c2.设MP=x,NP=y,则AP=2x,BP=2y,利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题.(3)取AB中点H,连接FH并且延长交DA的延长线于P点,首先证明△ABF是中垂三角形,利用(2)中结论列出方程即可解决问题.
试题解析:(1)解:如图1中,∵CE=AE,CF=BF,
∴EF∥AB,EF=AB=2,
∵tan∠PAB=1,
∴∠PAB=∠PBA=∠PEF=∠PFE=45°,
∴PF=PE=2,PB=PA=4,
∴AE=BF==2.
∴b=AC=2AE=4,a=BC=4.
如图2中,连接EF,
,∵CE=AE,CF=BF,
∴EF∥AB,EF=AB=1,
∵∠PAB=30°,
∴PB=1,PA=,
在RT△EFP中,∵∠EFP=∠PAB=30°,
∴PE=,PF=,
∴AE==,BF==,
∴a=BC=2BF=,b=AC=2AE=,
(2)结论
证明:如图3中,连接EF.
∵AF、BE是中线,
∴EF∥AB,EF=AB,
∴△FPE∽△APB,
∴==,
设FP=x,EP=y,则AP=2x,BP=2y,
∴a2=BC2=4BF2=4(FP2+BP2)=4x2+16y2,
b2=AC2=4AE2=4(PE2+AP2)=4y2+16x2,
c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2,
∴a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2.
(3)解:如图4中,在△AGE和△FGB中,
,
∴△AGE≌△FGB,
∴BG=FG,取AB中点H,连接FH并且延长交DA的延长线于P点,
同理可证△APH≌△BFH,
∴AP=BF,PE=CF=2BF,
即PE∥CF,PE=CF,
∴四边形CEPF是平行四边形,
∴FP∥CE,
∵BE⊥CE,
∴FP⊥BE,即FH⊥BG,
∴△ABF是中垂三角形,
由(2)可知AB2+AF2=5BF2,
∵AB=3,BF=AD=,
∴9+AF2=5×()2,
∴AF=4.