题目内容

【题目】如图,在等边中,边上一点(不含端点 ),的外角 的平分线上一点,且

1)尺规作图:在直线的下方,过点,作的延长线,与相交于点.

2)求证:是等边

3)求证:.

【答案】1)见解析;(2)见解析;(3)见解析

【解析】

1)根据尺规作图,作一个角等于已知角的做法作出∠CBE,再延长NCBE交于E

2)由△ABC是等边三角形,易得∠CBE=BCE=60°,从而判定等边三角形;

3)连接EM,易证△ABM≌△EBM,推出ME=MN,得到∠MEN=MNE,再利用∠NMC+MNE=BEM+MEN=60°,推出∠NMC=BEM=BAM,最后由等量代换可得出∠AMB+NMC=120°,从而得到∠AMN=60°.

1)如图所示,

2)证明:∵△ABC为等边三角形

∴∠CBA=ACB=60°,

∴∠ACH=180°-60°=120°,

又∵CN平分∠ACH

∴∠NCH=ACH=60°

∴∠BCE=NCH=60°

又∵∠CBE=CBA

∴在△BEC中,

CBE=BCE=BEC=60°,

∴△BEC是等边△BEC.

3)连接EM

∵△ABC和△BEC都是等边三角形,

AB=BC=BE,∠ABM=EBM=60°,

在△ABM和△EBM中,

∴△ABM≌△EBMSAS

AM=EM,∠BAM=BEM

又∵AM=MN

EM=MN

∴∠MEN=MNE

∵∠NCH=NMC+MNE=60°,∠BEM+MEN=60°

∴∠NMC=BEM

∴∠NMC=BEM=BAM

∵∠BAM+AMB=180°-ABM=120°

∴∠AMB+NMC=120°

∴∠AMN=180°-(∠AMB+NMC=60°.

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