题目内容

(本题满分12分)提出问题:如图,有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕(,且),在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力,小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分(要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样).
背景介绍:这条分割直线即平分了三角形的面积,又平分了三角形的周长,我们称这条线为三角 形的“等分积周线”.
尝试解决:
 (1)小明很快就想到了一条分割直线,而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”,从而平分蛋糕.
(2) 小华觉得小明的方法很好,所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CDAB于点D.你觉得小华会成功吗?如能成功,说出确定的方法;如不能成功,请说明理由.
(3)通过上面的实践,你一定有了更深刻的认识.请你解决下面的问题:若ABBC=5 cm,AC=6 cm,请你找出△ABC的所有“等分积周线”,并简要的说明确定的方法.

解:(1) 作线段AC的中垂线BD即可.………………………………………………2分
(2) 小华不会成功.
若直线CD平分△ABC的面积
那么
   
…………………………………………………………………4分


∴ 小华不会成功.………………………………………………………………5分
(3)① 若直线经过顶点,则AC边上的中垂线即为所求线段.……………………6分
② 若直线不过顶点,可分以下三种情况:
(a)直线与BC、AC分别交于E、F,如图所示
过点E作EH⊥AC于点H,过点B作BG⊥AC于点G
易求,BG=4,AG=CG=3
设CF=x,则CE=8-x
由△CEH∽△CBG,可得EH=
根据面积相等,可得……………………………7分
(舍去,即为①)或
∴ CF=5,CE=3,直线EF即为所求直线.……………………………8分
(b)直线与AB、AC分别交于M、N, 如图所示
由 (a)可得,AM=3,AN=5,直线MN即为所求直线.
(仿照上面给分)
(c) 直线与AB、BC分别交于P、Q,如图所示
过点A作AY⊥BC于点Y,过点P作PX⊥BC于点X
由面积法可得, AY=
设BP=x,则BQ=8-x
由相似,可得PX= 
根据面积相等,可得………………………………………11分
(舍去)或
而当BP时,BQ=,舍去.
∴ 此种情况不存在.……………………………………………12分
综上所述,符合条件的直线共有三条.
(注:若直接按与两边相交的情况分类,也相应给分)
 略
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