Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）点P为线段BC上方抛物线上（不与B、C重合）的一动点，连接PC、PB，当△PBC面积最大时，在y轴找点D，使得PD﹣OD的值最小时，求这个最小值．

（2）如图2，抛物线对称轴与x轴交于点K，与线段BC交于点M，在对称轴上取一点R，使得KR＝12（点R在第一象限），连接BR．已知点N为线段BR上一动点，连接MN，将△BMN沿MN翻折到△B'MN．当△B'MN与△BMR重叠部分（如图中的△MNQ）为直角三角形时，直接写出此时点B'的坐标．

Answer 1

【答案】（1）PD﹣OD的值最小；（2）B'（2，12）或B'（，4）时，△MNQ为直角三角形．

【解析】

（1）由已知可求，，，求出直线BC的解析式，进而设点P的坐标，再根据面积最大时确定P点的坐标，最后根据最短路径的知识求出的最小值；

（2）根据题意，重叠部分可以分两种情况进行讨论，即①当MN⊥B'M，②当MN⊥BR时，为直角三角形，进而求出B'的坐标即可．

（1）由已知可求，，，

∴直线BC的解析式为，直线AC的解析式为，

设点，

∵过点P与直线BC垂直的直线解析式为，

∴设直线与直线的交点Q的坐标为

，

∴，

当m＝时，PQ有最大，此时面积最大，

∴，

如下图，作P点关于y轴的对称点，作直线，

过点P'作直线的垂线交y轴于点D，交直线于点M，

∵PD＝P'D，∠DOM＝60°，

∴MD＝OD，

∴，

∴OD的最小值为P'M；

∵P'D的解析式为y＝，

∴，

∴P'M＝，

∴的值最小；

（2）①当MN⊥B'M时，为直角三角形，

对称轴，

∴，，

∴KB＝，

直线BC的解析式为，

∴，

∴MK＝4，MB＝8，

∴RM＝8，

∴MR＝KB，

∵，

∴∠KRB＝30°，

∴∠B'＝30°，

∴QM＝4，B'Q＝,

∴RQ＝4，

∴QN＝，

∴；

②当MN⊥BR时，为直角三角形，

∵∠MBN＝∠MB'N＝30°，∠KRB＝30°，

∴B'与R重合，

∴；

综上所述：或时，为直角三角形．