题目内容
13.如图1,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q.(1)求证:△AEP≌△BAG;
(2)试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)如图2,若连接EF交GA的延长线于H,由(2)中的结论你能判断EH与FH的大小关系吗?并说明理由;
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分析 (1)根据等腰Rt△ABE的性质,求出∠EPA=∠EAB=∠AGB=90°,∠PEA=∠BAG,根据AAS推出△EPA≌△AGB;
(2)根据全等三角形的性质推出EP=AG,同理可得△FQA≌△AGC,即可得出AG=FQ,最后等量代换即可得出答案;
(3)求出∠EPH=∠FQH=90°,根据AAS推出△EPH≌△FQH,即可得出EH与FH的大小关系;
解答 解:(1)如图1,∵∠EAB=90°,EP⊥AG,AG⊥BC,
∴∠EPA=∠EAB=∠AGB=90°,
∴∠PEA+∠EAP=90°,∠EAP+∠BAG=90°,
∴∠PEA=∠BAG,
在△EPA和△AGB中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠EPA=∠BGA}\\{∠PEA=∠BAG}\\{AE=AB}\end{array}\right.$,
∴△EPA≌△AGB(AAS),
(2)EP=FQ,
证明:由(1)可得,△EPA≌△AGB,
∴EP=AG,
同理可得,△FQA≌△AGC,
∴AG=FQ,
∴EP=FQ;
(3)EH=FH,
理由:如图,∵EP⊥AG,FQ⊥AG,
∴∠EPH=∠FQH=90°,
在△EPH和△FQH中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠EHP=∠FHQ}\\{∠EPH=∠FQH}\\{EP=FQ}\end{array}\right.$,
∴△EPH≌△FQH(AAS),
∴EH=FH.
点评 本题属于三角形综合题,主要考查了全等三角形的性质和判定以及等腰直角三角形的性质的综合应用,解题时注意:全等三角形的对应边相等,对应角相等.等腰直角三角形是一种特殊的三角形,具有所有三角形的性质,还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.
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练习册系列答案
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4.下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )
A. | 5cm,9cm,12cm | B. | 7cm,12cm,13cm | C. | 30cm,40cm,50cm | D. | 3cm,4cm,6cm |
18.五张完全相同的卡片上,分别画有圆、平行四边形、等腰三角形、角、矩形,现从中随机抽取一张,恰好抽到轴对称图形的概率是( )
A. | $\frac{1}{5}$ | B. | $\frac{3}{5}$ | C. | $\frac{2}{5}$ | D. | $\frac{4}{5}$ |
2.某摩托车厂本周计划每日生产400辆摩托车,由于种种原因,实际每日生产量与计划量相比情况如表:[增加的辆数为正数,减少的辆数为负数]
(1)本周内,最多的一天比最少的一天多生产多少辆?
(2)本周一共生产多少辆?
(3)厂里工资的标准是每生产一辆摩托车发工资200元,每天如果超计划完成,超过的部分每辆奖励工资80元,但是如果每天没有完成计划,低于的部分每辆要扣掉工资50元,求本周工人的工资一共是多少?
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
增减 | -5 | +2 | +8 | -6 | +10 | +3 | -4 |
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3.
如图,AB是圆O的直径,点M是圆O上一点,若AM=8cm,AB=10cm,ON⊥BM于点N,则BN的长为( )
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/quiz/images/201701/107/dd0ddfd7.png)
A. | $\frac{3}{2}$cm | B. | 3cm | C. | 5cm | D. | 6cm |