Question

等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=12，AD=4，∠B=60°，点P是腰AB上的一个动点．
（1）求BC的长．
（2）如图1，如果点M在BC上，BM=12，PM平分梯形ABCD的面积，求出此时PB的长；
（3）过点P作直线PM，是否存在PM将梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时PB的长；若不存在，请说明理由；

Answer 1

（1）过点A作AE⊥BC，DF⊥BC，
∵∠B=60°，AB=12，
∴sin60°=

AE

12

，
∴AE=6

3

，
∴BE=6，同理可证：FC=6，
∴BC=BE+EF+FC=6+4+6=16；

（2）作△PBM的高PG，


∵等腰梯形ABCD的面积是：

1

2

（AD+BC）?AE=

1

2

×（4+16）×6

3

=60

3

∵PM平分梯形ABCD的面积，
∴S_△PBM=30

3

，
∵BM=12，
∴PG=5

3

，
∵∠B=60°，
∴PB=

5 3

sin60°

，
∴PB=10；

（3）当M在BC上时，梯形ABCD的周长是4+12+16+12=44，
∵PB=10，BM=12时PB+BM=22（符合题意），
PB=12，BM=10时 PB+BM=22（符合题意），
当M在DC上时（舍去），
当M在AD上（舍去），
则存在符合题意的直线PM．