Question

如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．

（1）求证：点F是AD的中点；
（2）求cos∠AED的值；
（3）如果BD=10，求半径CD的长．

Answer 1

(1)证明见解析；（2）；（3）5.

试题分析：（1）欲证点F是AD的中点，只须证AF=DF，可以证明△AEF≌△DEF得出；
（2）求∠AED的余弦值，即求ME：DM，由已知条件，勾股定理，切割线定理的推论可以求出；
（3）根据△AEC∽△BEA易得AE²=CE•BE，因此（5k）²=k•（10+5k），解得k=2，所以CD=k=5．
试题解析：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，
∴∠ADE=∠DAE，
∴ED=EA，
∵ED为⊙O直径，
∴∠DFE=90°，
∴EF⊥AD，
∴点F是AD的中点；
（2）解：连接DM，
设EF=4k，DF=3k，

则ED=，
∵AD•EF=AE•DM，
∴DM=，
∴ME=，
∴cos∠AED=；
（3）∵∠B=∠3，∠AEC为公共角，
∴△AEC∽△BEA，
∴AE：BE=CE：AE，
∴AE²=CE•BE，
∴（5k）²=k•（10+5k），
∵k＞0，
∴k=2，
∴CD=k=5．
考点: 1.圆周角定理；2.相似三角形的判定与性质；3.锐角三角函数的定义．